交代群

Sn中偶置換的全體構成一個1/2(n!)階的子群，記作An，稱為交代群。

定義

S中偶置換的全體構成一個1/2(n!)階的子群，記作A，稱為交代群。

證明

證明：先證A是S的子群。首先單位元(1)(2)...(n)是偶置換，故A非空。

（1）封閉性：若p，p是偶置換，則p=pp也是偶置換，故封閉性成立；

（2）結合律：置換群的結合律成立；

（3）單位元素：置換群的單位元素本身就是偶置換；

（4）逆元素：(i k)的逆元素為(i k)，p = (i j) (i j) ... (i j)的逆元素為p-1 = (i j) (i j) ... (i j)，

pp = (i j) (i j) ... (ij) (i j) (i j) ... (ij)

由於(i j) (i j) = e，

所以有pp = (i j) (i j) ... (i j) (i j) ... (i j) = ... = (i j) (i j) (i j) (i j) = (i j) (j i)

= (1) (2) ... (n)

同理證p p = (1) (2) ... (n)

從而證得偶置換的全體構成群，記作A。

令B = S \ A，即B為S中奇置換的全體，任取其中一個換位(i,j)，對於A的任一置換p，

則(i j)p是奇置換，即(i j)p∈B。所以|A| ≤ |B| (1)

類似地，

對於集合B的任一置換q，顯然有(i j)q∈A，即(i j)q是偶置換。

所以，|B| ≤ |A| (2)

由式(1)與式(2)可得，|A| = |B|。又|A| + |B| = n!，所以|A| = 1/2(n!)。