基本概念
設 是n階一矩陣,k是小於等於n的某個正整數,如果 的所有k階子式的最大公因子(它是首一多項式)不等於零,則稱這個多項式為 的k階 行列式因子,記為 。如果 的所有k階子式都等於零,則規定 的k階行列式因子為零。
定義
設 是一矩陣 A( )的非零行列式因子,則
稱為A( )的 不變因子。
相關定理
定理1
相抵的λ一矩陣有相同的行列式因子,從而有相同的不變因子。
證明 我們只需證明行列式因子在任意一種初等變換下不變就可以了,對第一種初等變換,交換λ一矩陣的任兩行,顯然 A(λ )的i階子式最多改變一個符號,因此行列式因子不改變。
對第二種初等變換, A(λ )的i階子式與變換後矩陣的i階子式最多差一個非零常數,因此行列式因子也不改變。
對第三種初等變換,記變換後的矩陣為 B(λ ),則 B( λ)與 A(λ )的i階子式可能出現以下3種情形:子式完全相同; B(λ )子式中的某一行(列)等於 A(λ )中相應子式的同一行(列)加上該子式中某一行(列)與某個多項式之積; B(λ )子式的某一行(列)等於 A( λ)中相應子式的同一行(列)加上不在該子式中的某一行(列)與某個多項式之積,在前面兩種情形,行列式的值不改變,因此不影響行列式因子,現在來討論第三種情形,設 為 B(λ )的t階子式,相應的 A( λ)的i階子式記為 ,則由行列式性質得
其中 由 A( λ)中的i行與i列組成,因此它與 A( λ)的某個i階子式最多差一個符號, 是乘以某一行(列)的那個多項式,於是 A( λ)的行列式因子 ,故 ,這說明, 可整除 B(λ)的所有i階子式,因此 可整除 B(λ )的i階行列式因子 ,但 B( λ)也可用第三種初等變換變成 A( λ),於是 ,由於 及 都是首一多項式,因此必有 。
推論1
設n階 λ一矩陣 A( λ)的法式為
其中 是非零首一多項式且 ,則 A(λ )的不變因子為 .特別,法式和不變因子之間相互唯一確定。
證明 由定理1, A(λ )與 有相同的不變因子, 的不變因子為 ,從而它們也是 A(λ )的不變因子。
推論2
設 A(λ ), B( λ)為n階 λ一矩陣,則 A(λ )與 B( λ)相抵若且唯若它們有相同的法式。
證明 若 A( λ)與 B( λ)有相同的法式,顯然它們相抵,若 A( λ)與 B( λ)相抵,由定理1知 A( λ)與 B( λ)有相同的不變因子,從而有相同的法式。
推論3
n階 λ一矩陣 A(λ )的法式與初等變換的選取無關。
證明 設 是 A( λ)通過不同的初等變換得到的兩個法式,則 與相抵,由推論2可得。
定理2
數域 上n階矩陣 A與 B相似的充分必要條件是它們的特徵矩陣 和 具有相同的行列式因子或不變因子。
證明 顯然不變因子與行列式因子之間相互唯一確定,再由定理2,推論1及推論2即得結論。
之後特徵矩陣 的行列式因子及不變因子均簡稱為 A的行列式因子與不變因子。
推論4
設 是兩個數域, A, B是 上的兩個矩陣,則 A與 B在 上相似的充分必要條件是它們在 上相似。
證明 若 A與 B在 上相似,由於 ,它們當然在 上也相似,反之,若 A, B在 上相似,則 與 在 上有相同的不變因子,也就是說它們有相同的法式,但在求法式的過程中只涉及多項式的加、減、乘及數的加、減、乘、除運算,而數域在加、減、乘、除運算下封閉,數域上的多項式在加、減、乘及數乘下也封閉,因此由推論3,法式中的不變因子多項式 仍是 上的多項式,與初等變換相對應的初等矩陣也是 上的 一矩陣,這就是說存在 上的可逆 一矩陣 ,使
從而
即 與 在 上相抵,由定理2可得 A與B在 上相似。