定義
形如
三對角矩陣的n×n矩陣A稱為三對角矩陣，其中第(i,j)個元素在j>i+1和j<i-1時為零。
三對角矩陣的建立
分析矩陣特點
三對角矩陣三對角矩陣M是一個對角矩陣，若且唯若 時，有M(i,j)=0。在一個nxn的三對角矩陣T中，非0元素排列在如下的三條對角線上：
（1）主對角線即i=j；
（2）主對角線之下的對角線（稱低對角線）即i=j+1；
（3）主對角線之上的對角線（稱高對角線）即i=j-1。
這三條對角線上的元素總數為3n-2，故可以使用一個擁有3n-2個位置的一維數組來描述T，因為僅需要存儲三條對角線上的元素。
矩陣實例
考察如下所示的4×4三對角矩陣：
三對角矩陣三對角矩陣上共有10個元素，如果把這些元素逐行映射到t中，則有t[0:9]=[2,1,3,1,3,5,2,7,9,0]；如果逐列映射到t上，則有t[0:9]=[2,3,1,1,5,3,2,9,7,0]；如果按照對角線的次序（從最下面的對角線開始）進行映射，則有t[0:9]=[3,5,9,2,1,2,0,1,3,7]。
建立該三對角矩陣的程式
利用Store函式把傳入的x值存儲在相應的三對角矩陣中，並通過switch語句判斷其所在位置。具體程式如下：
確定三對角矩陣的特徵值
QR法
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣QR法對於三對角矩陣來說是很好的，在這個方法中，矩陣被分解成以下形式： ，其中 是正交矩陣， 是上三角矩陣。產生如下的矩陣序列：將 化成乘積形式 ，則 定義為 。
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣 三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣 三對角矩陣
三對角矩陣 三對角矩陣
三對角矩陣 三對角矩陣 三對角矩陣 三對角矩陣 三對角矩陣一般來說，對於 化成 ，其中 是正交矩陣， 是上三角矩陣，則 被定義為 和 以相反次序乘積式，即 。因為 是正交矩陣， 。 是對稱的，與 有相同的特徵值。我們定義和成這樣的形式：是三對角矩陣，最終趨於變為對角陣，其對角線上的元素給出原矩陣的特徵值。
特徵多項式法
三對角矩陣特徵多項式法可以像特徵多項式的根一樣確定特徵值。有一種有效的方法來構造三對角矩陣的特徵多項式。使用符號法可以求特徵值的歸類，從而形成一個Sturmian序列。然後用對分法或試位法來求精確的特徵值。由Householder變換得到的對稱三對角矩陣的特徵多項式為：
三對角矩陣其中，i=1,2,...,n，有：
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣從向前的Sturm序列可以表示為：
三對角矩陣
三對角矩陣因此，有
實例
求下述三對角矩陣的特徵多項式：
三對角矩陣解：把該矩陣與特徵多項式的一般形式作比較，則有
三對角矩陣比較這兩個矩陣，得到
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣
三對角矩陣在的表達式中代入和的值並化簡，得到：。
