定義
在直角三角形中,∠α(不是直角)的對邊與斜邊的比叫做∠α的正弦,記作sinα,即sinα=∠α的對邊/∠α的斜邊 。sina在拉丁文中計做sinus,翻譯的人把印度語當成阿拉伯語翻譯,根據發音最接近的單詞:海灣,翻譯成sinuses。
![sin[函式名稱]](/img/d/324/wZwpmLxUDNyETN5ETOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxkzL4EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
將一個角放入直角坐標系中,使角的始邊與X軸的非負半軸重合,在角的終邊上取一點A(x,y),過A做X軸的垂線,則
![sin[函式名稱]](/img/1/38b/wZwpmLwIDO3IzM0ADOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwgzL2gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
正弦的最大值為1,最小值為-1。
三角函式示意圖
a,b,c分別表示直角三角形的三個邊,ABC分別是角a b c 的對邊
a為∠b角的相鄰直角邊,
b為∠α角的相鄰直角邊,
c為直角三角形的斜邊。
Sin B=b/c
Sin A=a/c
定理
正弦函式的定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即 a/sin A=b/sin B=c/sin C
正弦函式的定理在三角形求面積中的運用-
S△=c²sinAsinB/2sin(A+B)(S△為三角形的面積,三個角為∠A∠B∠C,對邊分別為a,b,c,)
![sin[函式名稱]](/img/4/987/wZwpmLwgTOzkTM3EDOzQzN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxgzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC (三個角為∠A∠B∠C,對邊分別為a,b,c,參見三角函式)
另外,當sin值在180~360之間會出現負數,在360以上則會重複。
公式
兩角和差公式
![sin[函式名稱]](/img/8/638/wZwpmLyIzM1kTM2UzM2EzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1MzLzIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
誘導公式
![sin[函式名稱]](/img/a/d28/wZwpmLzgzM4EjN3EDOzQzN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxgzLyUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![sin[函式名稱]](/img/e/865/wZwpmLwMjN1UTO5QzNzQzN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![sin[函式名稱]](/img/3/58b/wZwpmL4QDMxAjN5cDOzQzN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3gzL3gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![sin[函式名稱]](/img/c/c2c/wZwpmL3QTO5UDO3IzNzQzN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyczL1AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![sin[函式名稱]](/img/d/a7b/wZwpmL4cTM2kjNzYDOzQzN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2gzL0MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
二倍角公式
![sin[函式名稱]](/img/6/d34/wZwpmL2QTMyUzN2IzNzQzN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyczL1UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
特殊值
角度 | sin | cos | tan |
0 | 0 | 1 | 0 |
30(π/6) | ![]() | ![]() | ![]() |
45(π/4) | ![]() | ![]() | 1 |
60(π/3) | ![]() | ![]() | ![]() |
90(π/2) | 1 | 0 | 不存在 |
120(π/2+π/6) | ![]() | ![]() | ![]() |
150(π/2+π/3) | ![]() | ![]() | ![]() |
180(π) | 0 | -1 | 0 |
270(π+π/2) | -1 | 0 | 不存在 |
360(2π) | 0 | 1 | 0 |