簡介
黎卡提方程是最簡單的一類非線性方程。形如y'=P(x)y +Q(x)y+R(x)的方程稱為黎卡提方程。
![Riccati方程](/img/1/8d1/wZwpmLzMDOyYjN2gDN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4QzL1MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
對其特例y'=-by +cx ,劉維爾(Liouville,J.)於1941年證明了:若且唯若時,方程才能求得用初等函式及其積分所表示的通解。劉維爾的工作使得人們的注意力開始轉向微分方程解的定性研究、數值計算以及求近似解上。
發展
十七世紀,義大利數學家黎卡提提出如下方程:dy/dx=P(x)y +Q(x)y+R(x),稱為黎卡提方程。
1841年法國數學家劉維爾證明了黎卡提(Riccati)方程一般沒有初等解法,但是很多實際問題與理論問題又迫切需要求得這個方程的解,這也使得這一方程成為世界著名難題。
黎卡提方程自從十七世紀黎卡提提出以來,歷經三百多年一直未有一般解法,雖然有眾多特例解法,但是都未能從根本上解決這個方程。
套用
無論在微分方程的經典理論或在近代科學的有關分支,黎卡提方程均有重要套用。