Nimber簡介
在數學適當的類 nimbers (偶爾地叫Grundy數字)介紹 組合博奕論他們被定義作為價值的地方 nim 堆，但在比賽更大的類升起由於Sprague-Grundy定理. 它是適當的類序數資助與新nimber加法 並且nimber增殖從序數加法和序數增殖是分明的。
Sprague-Grundy定理闡明，每 公平的比賽 與某一大小的nim堆是等效的。 Nimber加法(亦稱 nim加法)能使用計算唯一堆的大小等效與堆的一件收藏品。
那裡為a 集合 S 序數， MEX(S)被定義是“極小值被排除的序數”，即。 mex (S)是不是元素的最小的序數 S. 為有限序數， nim總和 在計算機容易地被評估通過採取專屬或對應編號(藉以給數字他們 二進制 擴展和二進制擴展 x xor y 被評估 位-明智)。
Nimber增殖(nim增殖)遞歸地被定義
α β = mex {α ′β + α β ′−α′β′：α′<α，β′<β}=mex{α′β+αβ′+α′β ′：α ′<α，β′<β}。
除了事實nimbers形成a 適當的類 而不是a 集合nimbers類確定 代數閉合的領域 典型 2. nimber疊加性身分是序數0，並且nimber乘身分是序數1。 跟上特徵是2，序數α的nimber疊加性反面是α。 非零序數α的nimber乘反面給由1/α = mex (S)的地方 S 是最小的套序數(nimbers)這樣
1、0是 元素 S;
2、如果0 < α ′ < α和β ′是元素 S然後[1 + (α ′ − α) β ′]/α ′也是元素 S.
為所有自然數 n套nimbers較少比 形成 Galois領域 秩序.和在nimber加法情況下，有計算有限序數nimber產品手段。 這取決於規則那
1、分明Fermat 2力量(形式的數字nimber產品 )與他們普通的產品是相等的;
2、Fermat 2力量的nimber正方形 x 是相等的到3x/2如被評估在自然數的普通的增殖之下。
nimbers的最小的代數閉合的領域比序數是套nimbers較少 ω是最小的無限序數的地方。 因而斷定作為nimber， 是卓越在領域。
加法和乘法表
以下表陳列加法和增殖在前16 nimbers之中。 (這個子集是閉合的在兩操作之下，因為16是形式.)
Nimber加法：
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
2 2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
4 4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
6 6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
8 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
10 10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
11 11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
12 12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
13 13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
14 14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
15 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Nimber增殖
× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 0 2 3 1 8 10 11 9 12 14 15 13 4 6 7 5
3 0 3 1 2 12 15 13 14 4 7 5 6 8 11 9 10
4 0 4 8 12 6 2 14 10 11 15 3 7 13 9 5 1
5 0 5 10 15 2 7 8 13 3 6 9 12 1 4 11 14
6 0 6 11 13 14 8 5 3 7 1 12 10 9 15 2 4
7 0 7 9 14 10 13 3 4 15 8 6 1 5 2 12 11
8 0 8 12 4 11 3 7 15 13 5 1 9 6 14 10 2
9 0 9 14 7 15 6 1 8 5 12 11 2 10 3 4 13
10 0 10 15 5 3 9 12 6 1 11 14 4 2 8 13 7
11 0 11 13 6 7 12 10 1 9 2 4 15 14 5 3 8
12 0 12 4 8 13 1 9 5 6 10 2 14 11 7 15 3
13 0 13 6 11 9 4 15 2 14 3 8 5 7 10 1 12
14 0 14 7 9 5 11 2 12 10 4 13 3 15 1 8 6
15 0 15 5 10 1 14 4 11 2 13 7 8 3 12 6 9
