HB
當考慮系統動態環節後, 系統將可能遇到Hopf分岔(Hopf bifurcation, 縮寫為HB) 現象, 相應的失穩為振盪型失穩。
微分方程理論在自動控制、航天技術、生態生物等方面一直有著廣泛的套用，在這些實際套用中，系統通常都是一些含有參數的微分方程組。考慮如下形式的系統：
dX/dt=f(X, λ,μ) (1)
系統（1）的解顯然隨參數μ的變化而變化。如果λ在λ等於一個確定值的一個小鄰域內變化時，系統（1）在相空間的相圖拓撲結構發生了變化，那么就稱系統發生了分岔，稱λ為分岔參數，λ的確定值為分岔值。
分岔是一種十分普遍的現象，而且它對把握系統解的性質和行為有著十分重要的意義。分岔包括靜態分岔和動態分岔。Hopf分岔即是一種十分重要的動態分岔現象，若系統（1）發生發生Hopf分岔，則參數λ在分岔值附近變化時，系統平衡點的穩定性發生改變，並在平衡點的小鄰域內產生周期解。在實際模型中Hopf分岔是十分普遍的。例如：經濟危機的周期性發生，心臟的周期跳動…都是一種Hopf分岔。
而今在套用數學中，Hopf分岔理論已經成為研究微分方程小振幅周期解產生和消亡的經典工具。因此，對Hopf分岔的研究是十分有意義的。
基本概念
不妨設系統（1） 的平衡點總在原點O，即：
f(0,μ)≡ 0
設 A(μ) =(Df)|(0,μ) ，且 A(μ)有特徵值
（H1）σ( μ) ±iω(μ) ,σ(0)=0,ω(0)=ωο
(H2) A(μ)的其它特徵值實部都小於0
在（H1）（H2）假定下，這時可以證明（詳見文獻[2]）
存在分岔函式g:(x, μ)=xr(x2, μ)，並且在原點附近的每一個解都一一對應到系統（1）的小振幅周期解。這裡，g 可由Lyapunov－Schmidt約化得到。
若再假設橫截性條件：
（H3） σ≠0
成立。其中，dσ/dλ≠0，那么系統周期解 r 滿足
(H4) r(c0+c2r2+c4r4+…)=0
其中，c是關於的函式。
另由隱函式定理，可知（H4）有唯一解。若又有：
（H5） c2≠0（dr/dx≠0）
使極限環的存在唯一性得到保證，那么：
（H4）式即定義了一條漸近拋物線，且滿足對任意同號 λ 存在唯一 r>0，並且不存在 r 使 λ 異號。
該條曲線即為經典Hopf分岔的圖像。
現在我們給出Hopf分岔的定義：
定義1 若系統（1）滿足條件（H1）（H2）（H3）（H5），即稱該系統將發生Hopf分岔。
這裡，參數不會引起系統相圖拓撲發生質的改變，但是若系統不滿足條件（4）和（6）任意其中之一，則將對系統產生重要影響。
定義2 若系統（1）對條件（H3）(H5)至少有一個不滿足，則稱其為退化Hopf分岔的情形。
下面就對退化的Hopf分岔作一些簡要的討論。
情形2 若（H5）成立，而（H3）不成立
