橫截性

橫截性

橫截性,是微分拓撲學中一個重要概念,是對空間中兩個對象處於一般位置的數學刻畫。人們是怎樣理解\"一般位置\"的呢?如令它的對立概念是“特殊位置”,通常感到:處於特殊位置的兩個對象做適當的微小變動後,就處於一般位置,而處於一般位置的兩個對象做隨意的微小變動後仍處於一般位置。

橫截性

正文

微分拓撲學中一個重要概念,是對空間中兩個對象處於一般位置的數學刻畫。人們是怎樣理解"一般位置"的呢?如令它的對立概念是“特殊位置”,通常感到:處於特殊位置的兩個對象做適當的微小變動後,就處於一般位置,而處於一般位置的兩個對象做隨意的微小變動後仍處於一般位置,考察平面R2中兩條曲線с1,с2,它們的相對位置如圖橫截性所示。
討論兩條曲線相交情況時,容易看出在圖a、c、d中,當曲線做微小變動時,原先相交的變動後仍相交,原先不相交的變動後仍不相交,而圖b中的兩條曲線卻不具有此性質。於是自然會想到圖 a、c、d中的曲線是一般位置,圖b中的曲線是特殊位置。還有一種更有意義的區分方法,把圖a、d中的曲線看成是一般位置,而把圖b、c中的曲線看成是特殊位置。這種方法是用橫截性來區別的。圖a、d中的曲線具有這樣的性質:兩條曲線或者不相交,或者帶有非零交角的相交,這就是數學術語中的“橫截”。橫截概念嚴格定義如下:
設ƒ:M→N是可微映射,其中M,N是微分流形,又設S是N的子流形。如果對於任意x∈M,y=ƒ(x∈S,並對於y點處任意N的切向量Y,必可寫成Y=ƒ橫截性X+Z,其中Z是y點處S的切向量,X是x點處M的切向量,ƒ橫截性X是將X“搬到”N上而得的向量,上面所述性質成立就說ƒ橫截於S。簡單地說,ƒ(M)與S橫截。
有了上述橫截的概念,便不難證明:橫截性在ƒ做微小改變時保持不變,不橫截的ƒ可經適當小變動變為橫截。微分拓撲學中如浸入,具有非退化奇點的函式等等概念,皆可在適當的陳述下表現為上面定義的橫截性。
橫截性的概念看起來簡單,可是能從數學裡廣泛出現的現象中抽象出這樣的概念,並巧妙地運用此概念解決新的數學問題,決非易事。這應歸功於20世紀50年代初R.托姆的工作。

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