橫截性
正文
微分拓撲學中一個重要概念，是對空間中兩個對象處於一般位置的數學刻畫。人們是怎樣理解"一般位置"的呢？如令它的對立概念是“特殊位置”,通常感到:處於特殊位置的兩個對象做適當的微小變動後，就處於一般位置，而處於一般位置的兩個對象做隨意的微小變動後仍處於一般位置，考察平面R2中兩條曲線с1,с2,它們的相對位置如圖
所示。 討論兩條曲線相交情況時,容易看出在圖a、c、d中，當曲線做微小變動時，原先相交的變動後仍相交，原先不相交的變動後仍不相交,而圖b中的兩條曲線卻不具有此性質。於是自然會想到圖 a、c、d中的曲線是一般位置,圖b中的曲線是特殊位置。還有一種更有意義的區分方法，把圖a、d中的曲線看成是一般位置，而把圖b、c中的曲線看成是特殊位置。這種方法是用橫截性來區別的。圖a、d中的曲線具有這樣的性質：兩條曲線或者不相交，或者帶有非零交角的相交，這就是數學術語中的“橫截”。橫截概念嚴格定義如下：
設ƒ:M→N是可微映射，其中M,N是微分流形，又設S是N的子流形。如果對於任意x∈M,y=ƒ(x∈S，並對於y點處任意N的切向量Y,必可寫成Y=ƒ
X+Z，其中Z是y點處S的切向量，X是x點處M的切向量，ƒX是將X“搬到”N上而得的向量，上面所述性質成立就說ƒ橫截於S。簡單地說，ƒ(M)與S橫截。 有了上述橫截的概念,便不難證明：橫截性在ƒ做微小改變時保持不變,不橫截的ƒ可經適當小變動變為橫截。微分拓撲學中如浸入，具有非退化奇點的函式等等概念，皆可在適當的陳述下表現為上面定義的橫截性。
橫截性的概念看起來簡單，可是能從數學裡廣泛出現的現象中抽象出這樣的概念，並巧妙地運用此概念解決新的數學問題，決非易事。這應歸功於20世紀50年代初R.托姆的工作。
