定義
代數
Banach代數 Banach代數 Banach代數
Banach代數
Banach代數
Banach代數定義1 設 是一個線性空間，稱 是一個代數，若：對 中任意兩個元素 ，規定乘積 ，滿足對 和任意數a，有
（1）結合律 x(yz)=(xy)z；
（2）分配律 x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz；
（3）a(xy)=(ax)y=x(ay).
Banach代數
Banach代數註：1）設 是一個代數 ，如果存在 ，使得
Banach代數
Banach代數 Banach代數就稱 是代數 的一個 單位元。
Banach代數
Banach代數
Banach代數 Banach代數 Banach代數 Banach代數2）設 是一個代數，如果 ，且 按 的線性運算及乘法仍是一個代數，則稱 是 的一個 子代數。
Banach代數 Banach代數3）設 是一個代數 ，當 有單位元時，單位元必是唯一的。
Banach代數
Banach代數
Banach代數4）設 是一個有單位元的代數， 且存在 使得
Banach代數 Banach代數其中e為 的單位元，則稱b為a的 逆。
賦范代數
Banach代數定義2 設 是一個賦范線性空間，同時又是一個代數，而且
Banach代數 Banach代數則稱 是一個賦范代數。
Banach代數註：在賦范代數中，關於乘積範數的性質保證了乘法運算的連續性。實際上，當 時，
Banach代數Banach代數
定義3 完備的賦范代數稱為Banach代數。
舉例
Banach代數 Banach代數例1 設X是賦范線性空間，則 （由X到X的有界線性運算元全體）是一個有單位元的賦范代數，X上的恆等運算元I 即為其單位元。當X為Banach空間時， 是Banach代數。
例2 設X是Banach空間， ，
Banach代數 Banach代數 Banach代數即 是與A可交換的有界線性運算元全體，顯然， 是B（X）的一個子代數，而且是閉的，因而也是一個Banach代數。
Banach代數
Banach代數 Banach代數
Banach代數例3 設 是緊拓撲空間， 表示 上連續函式全體，對 ，令
Banach代數 Banach代數則 是一個Banach代數。
譜與譜半徑
對於有限維線性空間上的線性變換，特徵值是一個十分重要的概念。這個概念拓廣到一般的Banach代數中，就是元素的譜。（這裡討論的Banach代數是指復Banach代數。）
Banach代數 Banach代數
Banach代數
Banach代數
Banach代數定義4 設 是具有單位元 的Banach代數， ， 為複數，如果存在 ，使得
Banach代數
Banach代數 Banach代數
Banach代數
Banach代數即 可逆，則稱 為x的正則點，稱x的正則點全體為正則集，記作 ；稱非正則點為 x的 譜點，稱x的譜點全體為 x的 譜集，記作
Banach代數 Banach代數 Banach代數定義5 設 是具有單位元 的Banach代數， ，記
Banach代數
Banach代數稱 為x的 譜半徑。
Banach代數的重要性質
Banach代數 Banach代數 Banach代數定理1 設 是具有單位元 的Banach代數，則 中可逆元全體是開集，且映射
Banach代數在可逆元集合上連續。
Banach代數 Banach代數
Banach代數
Banach代數
Banach代數定理2 設 是具有單位元 的Banach代數， 則 當 時，
Banach代數
Banach代數且當 時，
Banach代數 Banach代數 Banach代數 Banach代數 Banach代數
Banach代數定理3 設 是具有單位元 的Banach代數， ，則 是開集。對 ，記
Banach代數
Banach代數則當 時 ，且
Banach代數 Banach代數 Banach代數 Banach代數
Banach代數定理4 設 是具有單位元 的Banach代數， ，則 是閉集，且
Banach代數 Banach代數 Banach代數 Banach代數定理5 設 是具有單位元 的Banach代數， ，則譜半徑
Banach代數 Banach代數 Banach代數 Banach代數
Banach代數定理6 設 是具有單位元 的Banach代數， ，則
Banach代數 Banach代數 Banach代數 Banach代數
Banach代數
Banach代數定理7 設 是Banach代數 的閉子代數， 、 有相同的單位元， ，則 為開集。
註：定理1-7的證明見參考文獻[1]的59-64頁。
