齊次運算元

設X,Y同是數域K上的線性空間，D是X的線性子空間，T是從D到Y中的映射。如果對每個x∈D和實數α有T(αx)=αTx，則稱T是實齊次的，如果對一切a∈K這個關係式都成立，則稱T是齊次運算元。

簡介

可加運算元

設X,Y同是數域K上的線性空間，D是X的線性子空間，T是從D到Y中的映射。如果對每個x,y∈D，有T(x+y)=Tx+Ty，則稱T是可加運算元。

定義

如果對每個x∈D和實數α有T(αx)=αTx，則稱T是實齊次的，如果對一切a∈K這個關係式都成立，則稱T是齊次運算元。

推論

如果T既是可加的又是齊次的，則稱T是線性運算元或線性映射，D稱為T的定義域，常記為(T)。

齊次運算元

線性子空間 稱為T的值域（或像域）。當(T)=X時，稱T是X到Y的線性運算元。當R(T)=Y時，稱T為X到Y上的或滿值域的。特別地，當Y=K（或Y是一維線性空間）時，T稱為D上的線性泛函。線性泛函是線性運算元的特殊情形。

線性運算

線性運算是加法和數量乘法， 在實數領域像只包含加法和數量乘法二元一次方程就屬於線性運算，如y=3x+5。如果是矩陣的加法和數乘運算，就稱為矩陣的線性運算；如果是向量的加法和數乘運算，統稱為向量的線性運算。對於不同線性運算一般有不同的形式，它們滿足交換律、結合律、分配律等。