定義
在工程實際問題的最佳化設計中,所列的目標函式往往很複雜,為了使問題簡化,常常將目標函式在某點鄰域展開成泰勒多項式來逼近原函式。
二元函式的黑塞矩陣







由高等數學知識可知,若一元函式 在 點的某個鄰域內具有任意階導數,則 在 點處的泰勒展開式為: ,其中 , 。


二元函式 在 點處的泰勒展開式為:



其中, 。
將上述展開式寫成矩陣形式,則有:

即:

其中:






是 在 點處的黑塞矩陣。它是由函式 在 點處的二階偏導數所組成的方陣。
多元函式的黑塞矩陣


將二元函式的泰勒展開式推廣到多元函式,則 在 點處的泰勒展開式的矩陣形式為:

其中:



(1) ,它是 在 點處的梯度。



(2) 為函式 在 點處的黑塞矩陣。


黑塞矩陣是由目標函式 在點X處的二階偏導數組成的 階對稱矩陣。
對稱性





如果函式 在 區域內二階連續可導,那么 黑塞矩陣 在 內為對稱矩陣。

原因:如果函式 的二階偏導數連續,則二階偏導數的求導順序沒有區別,即




則對於矩陣 ,有 ,所以 為對稱矩陣。
利用黑塞矩陣判定多元函式的極值
定理


設n多元實函式 在點 的鄰域內有二階連續偏導,若有:

並且

則有如下結果:


(1)當A正定矩陣時, 在 處是極小值;


(2)當A負定矩陣時, 在 處是極大值;

(3)當A不定矩陣時, 不是極值點。

(4)當A為半正定矩陣或半負定矩陣時, 是“可疑”極值點,尚需要利用其他方法來判定。
實例

求三元函式的極值。


解:因為,故該三元函式的駐點是。

又因為,

故有:


因為A是正定矩陣,故是極小值點,且極小值。