概述
18世紀末，高斯完成了他的傳世之作《算術研究》，1801年正式出版。這部著作給數論的研究揭開了一個新紀元，是現代數論的基石，是高斯的巨著。
其中第四部分：二次同餘式中，高斯第一次給出了二次互反律定理的證明。這個定理，高斯給出了熱情洋溢的頌辭，稱為“黃金定理”、“高等算術的明珠”。
二次互反律，又稱平方互反律，也叫做“勒讓德二次互反律”。
應當講，這個定理首先由勒讓德明確宣布，又儘管著名的歐拉在多年前已對這種素數所具有的性質也作過介紹，但是勒讓德本人則無力對此提供一個無瑕可擊的證明，很自然，定律的證明只好留給偉大的高斯去做了。
高斯確實是名不虛傳，他成功地獲得了該定律的七個不同的證明，而其中的第一個證法是他年僅19歲時取得的。
高斯的成就又大大地激勵了後人，許多數學家又不斷發現新證法，以至目前就有不少於50個的二次互反律的證法。
事實上，高斯是獨立地通過觀察而發現了這一定律的(根本不了解勒讓德與歐拉曾作過研究)。他用了整整一年時間來證明它。
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在《算術研究》出版後，他說：“它全年都在折磨著我，儘管我竭盡全力，它總是巧妙地躲過追捕。可是，最後我還是得到了它的證明，這已寫在《算術研究》的第四部分中。”該定理表述如下：
二次互反性定理：設p和q為奇素數，若p≡q≡3(mod4)，則p/q=-q/p,否則p/q=q/p。
二次互反律的證明對我們來說是太深奧了一點，但它實在是巧妙透頂，值得數學愛好者去學習、理解，並汲取其解題技巧與思維特徵。
