定義
面積坐標
面積坐標
面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標平面上任取一個⊿ABC，充當坐標三角形，對於平面ABC上任意一點M，將下述三角形面積比 S⊿MBC：S⊿AMC：S⊿ABM= ： ： 叫做點M關於⊿ABC的 面積坐標(或 重心坐標)，記作：M= ( ： ： )={ ， ， }。
面積坐標 面積坐標 面積坐標註：這裡的面積 S⊿MBC，S⊿AMC，S⊿ABM都是有向面積。通常約定，頂點按逆時針方向排列的三角形面積為正，頂點按順時針方向排列的三角形面積為負，故各個坐標分量 ， ， 都是可正可負的。
面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標由定義可知，某個點M的面積坐標既可記為 ( ： ： )，也可記為 (k ：k ：k )（k≠0）。也就是說，一個點的面積坐標記法並非唯一，他們可以相差一個非0的常數因子，因此這類坐標屬於齊次坐標，笛卡爾直角坐標不屬於齊次坐標。
面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標當 + + =1時，面積坐標 ( ： ： )稱為 規範面積坐標。
面積坐標
面積坐標
面積坐標
面積坐標
面積坐標
面積坐標三角形中任一點P與其3個角點相連形成3個子三角形，以原三角形邊所對應的角碼來命名此3個子三角形的面積，即 面積為 ， 面積為 ， 面積為 。P點的位置可有3個比值來確定，即
面積坐標
面積坐標
面積坐標P( ， ， ）
其中
面積坐標
面積坐標
面積坐標A是三角形的面積，因此有
面積坐標 面積坐標 面積坐標+ + =1
面積坐標 面積坐標 面積坐標稱 ， ， 為面積坐標。
點的面積坐標符號
面積坐標 面積坐標 面積坐標設點M( ： ： )是規範面積坐標：
面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標 面積坐標1）如果點M( ： ： )在三角形內部，那么 、 、 屬於開區間 (0,1)；
2）如果一點在三角形的邊上，至少有一個面積坐標 為 0，其餘分量位於閉區間 [0,1]；
3）如果有某個坐標小於 0，則位於三角形外部。
面積坐標
面積坐標
面積坐標例 以a、b、c分別表示⊿ABC三角A、B、C所對的邊，，，等等。
則⊿ABC的“五心”的面積坐標如下：
面積坐標重心：；
面積坐標
面積坐標
面積坐標
面積坐標內心：（ ： ： ）；
面積坐標旁心：，余類推；
面積坐標垂心：；
面積坐標外心：。
