雙線性插值

雙線性插值

雙線性插值,又稱為雙線性內插。在數學上,雙線性插值是有兩個變數的插值函式的線性插值擴展,其核心思想是在兩個方向分別進行一次線性插值。 雙線性插值作為數值分析中的一種插值算法,廣泛套用在信號處理,數字圖像和視頻處理等方面。

示例

已知的紅色數據點與待插值得到的綠色點

假如我們想得到未知函式 f在點 P= ( x, y) 的值,假設我們已知函式 f在 Q11 = ( x1, y1)、 Q12 = ( x1, y2), Q21 = ( x2, y1) 以及 Q22 = ( x2, y2) 四個點的值。

首先在 x方向進行線性插值,得到R1和R2,然後在 y方向進行線性插值,得到P.

這樣就得到所要的結果 f( x, y).

其中紅色點Q11,Q12,Q21,Q22為已知的4個像素點.

雙線性插值 雙線性插值

第一步:X方向的線性插值,在Q12,Q22中插入藍色點R2,Q11,Q21中插入藍色點R1;

第二步 :Y方向的線性插值 ,通過第一步計算出的R1與R2在y方向上插值計算出P點。

x方向上 x方向上
雙線性插值 雙線性插值

線性插值的結果與插值的順序無關。首先進行 y方向的插值,然後進行 x方向的插值,所得到的結果是一樣的。雙線性插值的結果與先進行哪個方向的插值無關。

如果選擇一個坐標系統使得 的四個已知點坐標分別為 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1),那么插值公式就可以化簡為

f(x,y)=f(0,0)(1-x)(1-y)+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,1)xy

在x與y方向上,z值成單調性特性的套用中,此種方法可以做外插運算,即可以求解Q1~Q4所構成的正方形以外的點的值。

雙線性插值的一個顯然的三維空間延伸是三線性插值。

三線性插值的方法可參看matlab中的interp3

特點

當對相鄰四個像素點採用雙線性插值時,所得表面在鄰域處是吻合的,但斜率不吻合。並且雙線性灰度插值的平滑作用可能使得圖像的細節產生退化,這種現象在進行圖像放大時尤其明顯。

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