概念
雙側曲面
雙側曲面 雙側曲面 雙側曲面 雙側曲面在光滑曲面 上任取一點 ，過點 的法線有兩個方向，如果選定法線的某個方向為指定的方向，當點在曲面上連續移動時，法線也連續變動、當動點從 出發沿著曲面上任意一條不越過曲面邊界的封閉曲線又回到原位置 時，法線的指向保持不變，稱這種曲面為雙側曲面。
基本原理
性質
雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面（1）由於第二類曲面積分是在雙側曲面指定的一側進行的，如果考慮不同的側面，此時 的方向相反，因而面積的投影相差一負號，若記曲面 的某一側為 ，相反一側為 ，則
雙側曲面因此，當改變曲面的側，積分改變符號，這與第一類曲面積分是一個顯著差別。
對於曲面的側，若曲面非封閉，可分為上側與下側，前側與後側，左側與右側；若曲面封閉，則可分為外側與內側。
雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面 雙側曲面 雙側曲面（2）若曲面 分為兩塊曲面 與 ，即 ， 與 沒有公共內點，但不改變曲面的側，則
雙側曲面計算法
雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面第二類曲面積分可化為二重積分來計算，但須注意到被積函式中的變數應滿足曲面方程，是面積元素分別在各坐標面上的投影，計算公式為
雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面 雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面 雙側曲面
雙側曲面
雙側曲面其中，當法線矢量的方向角為銳角時，相應積分號下取“”號；為銳角時取“”號，特別，若為時，則相應積分值為零。而是曲面的方程的三種表示，它們分別在上都是單值連續函式。
