隨機過程[數學術語]

隨機過程(Stochastic Process)是一連串隨機事件動態關係的定量描述。隨機過程論與其他數學、物理分支如位勢論、微分方程、複變函數論、力學等有密切的聯繫，是在自然科學、工程科學及社會科學各領域研究隨機現象的重要工具。隨機過程論已得到廣泛的套用，在諸如天氣預報、統計物理、天體物理、運籌決策、經濟數學、安全科學、人口理論、可靠性及計算機科學等很多領域都要經常用到隨機過程的理論來建立數學模型。

研究方法

研究隨機過程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類：一類是機率方法，其中用到軌道性質、停時和隨機微分方程等；另一類是分析的方法，其中用到測度論、微分方程、半群理論、函式堆和希爾伯特空間等。實際研究中常常兩種方法並用。

另外，組合方法和代數方法在某些特殊隨機過程的研究中也有一定作用。

研究的主要內容有：多指標隨機過程、無窮質點與馬爾可夫過程、機率與位勢及各種

隨機過程

特殊過程的專題討論等。

中國學者在平穩過程、馬爾科夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面做出了較好的工作。

一個實際的隨機過程是任意一個受機率支配的過程，例子有：

①看做是受孟德爾遺傳學支配的群體的發展；

②受分子碰撞影響的微觀質點的布朗運動，或者是巨觀空間的星體運動；

③賭場中一系列的賭博；

④公路一指定點汽車的通行。

在每一種情形，一個隨機系統在演化，這就是說它的狀態隨著時間而改變，於是，在時間t的狀態具有偶然性，它是一個隨機變數x(t)，參數t的集通常是一個區間(連續參數的隨機過程)或一個整數集合(離散參數的隨機過程)。然而，有些作者只把隨機過程這個術語用於連續參數的情形。

如果系統的狀態用一個數來表示，x(t)就是數值的，在其他情形，x(t)可以是向量值或者更為複雜。在本條的討論中，通常限於數值的情形。當狀態變化時，它的值確定一個時間的函式——樣本函式，支配過程的機率規律確定賦予樣本函式的各種可能性質的機率。

數學上的隨機過程是由實際隨機過程概念引起的一種數學結構。人們研究這種過程，是因為它是實際隨機過程的數學模型，或者是因為它的內在數學意義以及它在機率論領域之外的套用。數學上的隨機過程可以簡單的定義為一組隨機變數，即指定一參數集，對於其中每一參數點t指定一個隨機變數x(t)。如果回憶起隨機變數自身就是一個函式，以ω表示隨機變數x(t)的定義域中的一點，並以x(t，ω)表示隨機變數在ω的值，則隨機過程就由剛才定義的點偶(t，ω)的函式以及機率的分配完全確定。如果固定t，這個二元函式就定義一個ω的函式，即以x(t)表示的隨機變數。如果固定ω，這個二元函式就定義一個t的函式，這是過程的樣本函式。

一個隨機過程的機率分配通常是由指定它的隨機變數的聯合分布來給定的，這些聯合分布以及由它們誘導出來的機率可以解釋為樣本函式的性質的機率。例如，如果to是一個參數值，樣本函式在to取正值的機率是隨機變數x(to)有正值的機率。在這個水平上的基本定理：任意指定的自身相容的聯合機率分布對應一隨機過程。

特殊隨機過程

對過程的機率結構作各種假設,便得到各類特殊的隨機過程。除上述正態過程、二階過程外，重要的還有獨立增量過程、馬爾可夫過程、平穩過程、鞅點過程和分支過程等。貫穿這些過程類的有兩個最重要最基本的過程，布朗運動和泊松過程，它們的結構比較簡單，便於研究而套用又很廣泛。從它們出發,可以構造出許多其他過程。這兩種過程的軌道性質不同，前者連續而後者則是上升的階梯函式。

廣義過程正如從普通函式發展到廣義函式一樣，隨機過程也可發展到廣義過程。設D為R上全體無窮次可微且支集有界的實值函式φ的集，定義在D上的連續線性泛函稱為廣義函式、全體廣義函式的集記為Dx。考慮D×Ω上的二元函式x(φ,ω),如果對固定的ω，x(·,ω)∈Dx是廣義函式，而對固定的φ,x(φ，·)是隨機變數，則稱{x(φ,ω):φ∈D}為定義在(Ω，F,p)上的廣義過程。它在φ1,φ2,…，φn上的聯合分布為

全體這種聯合分布構成了廣義過程x的"有窮維分布族"。前兩階矩分別稱為均值泛函和相關泛函。

根據有窮維分布族的性質，也可以定義特殊的廣義過程類，象廣義平穩過程、廣義正態過程等。例如，若對D中任意有限個線性獨立函式φ1,φ2,…，φn，有限維分布都是常態分配，則稱x={x(φ,ω)}為廣義正態過程。