術語介紹
通常，我們可假設隨機漫步以馬爾可夫鏈或馬爾可夫過程形式出現，但比較複雜的隨機漫步則不一定以這種形式出現。在某些條件限制下，會出現一些比較特殊的形式。如醉漢走路（Drunkard's walk)或萊維飛行（Levy flight)；在平面和空間內多維的無規活動；有些則可成群，有些還和時間參數有關，隨機時間發生等。氣體或液體中分子活動的軌跡；金融價格漲落，賭場中的錢財狀態等都可作為隨機漫步的模型。
圖1.一維的隨機遊走。縱軸表示當前的位置，橫軸表示時間步數。隨機漫步和擴散模型有關，是馬爾可夫過程討論的基本過程。目前已在許多領域套用：生態學、經濟學、心理學、計算科學、物理學、化學和生物學等。它們用來說明這些領域內觀察到的行為和過程，因而是記錄隨機活動的基本模型。
隨機遊走
隨機漫步
隨機漫步流行的隨機漫步模型是在規則格上隨機漫步的模型，其中每個步驟根據機率分布跳轉到另一個站點。在簡單的隨機漫步中，位置只能跳到格子的相鄰位置，形成一個格子路徑。在局部有限格上的簡單對稱隨機漫步中，跳轉到其鄰居中的每一個的機率是相同的。研究最好的例子是在 維整數格線（有時稱為超立方體格線）上隨機遊走， 。
如果狀態空間限於有限維度，隨機遊走模型被稱為簡單有界對稱隨機漫步，並且轉移機率取決於狀態的位置，因為在邊緣和角落狀態下運動是有限的。
一維隨機遊走
隨機遊走的一個基本例子是整數線上的隨機遊走，從0開始，每一步以相同的機率移動+1或-1。
這一步可以說明如下。數字線上的標記被置於零，並且公平的硬幣被翻轉。如果它落在頭上，則標記向右移動一個單位。如果它落在尾巴上，標記會向左移動一個單位。五次翻轉後，標記現在可以在1，-1，3，-3，5或-5上。有五個翻轉，三個頭和兩個尾巴，以任何順序，將登入1.有1種方式（翻轉三個頭和兩個尾巴），10個著陸方式-1（通過翻轉三個尾巴和兩個頭），3個著陸方式（通過翻轉四個頭部和一個尾部），5個著陸方式-3（通過翻轉四個尾部和一個頭部），一個著陸方式5（通過翻轉五個頭部）和-5的一種登入方式（通過翻轉五個尾巴）。
圖2.所有可能的隨機遊走結果5次公平硬幣翻轉後
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步為了正式定義這個散步，需要獨立的隨機變數 ，其中每個變數是1或-1，對於任一值和50%的機率 和 。該系列 被稱為簡單的隨機遊走 。如果步行的每個部分的長度都是1，則該序列（-1s和1s的序列的總和）給出步行的距離。該預期 的 是零。也就是說，隨著翻轉次數的增加，所有硬幣翻轉的平均值接近零。這遵循期望的有限可加性性質：
隨機漫步
隨機漫步一個類似的計算，使用隨機變數的獨立性和事實 表明：
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步這暗示了 中，預計後平移距離步驟，應該是順序的 。實際上，這個結果表明擴散對於混合是無效的，因為平方根的表現方式很大。
馬爾可夫鏈
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步一維 隨機漫步也可以看作一個馬爾可夫鏈，其狀態空間由整數給出。對於一些數滿足，轉移機率（從狀態 移動到狀態 的機率）由下式給出：
隨機漫步假說
隨機遊走假說（Random walk hypothesis）是金融學上的一個假說，認為股票市場的價格，會形成 隨機漫步模式，因此它是無法被預測的。它源自於效率市場假說。它認為，如果股市具有弱式有效性（Weak form efficiency），那么股票價格的變化服從隨機漫步 ：
隨機漫步
隨機漫步
隨機漫步1) 是 t時刻 i股票價格的自然對數，
隨機漫步2) 是常數，
隨機漫步3) ：獨立同分布，
隨機漫步4) 是誤差項。
