圖書簡介
量子小體系的相空間束縛態與輸運過程本書作者是北京聯合大學教師。本書適合於高等院校的理論物理、原子分子物理、化學物理和物理化學等相關專業的高年級本科生、研究生，以及從事物理學和化學等學科領域科研和教學的工作人員使用。
圖書前言
有關物質本性的量子概念與已有的經典理論所聯繫的那些概念根本不同。經典理論總是使用一些直觀的、容易想像的概念，而量子理論最初發展起來的是一種十分抽象的數學形式，它不僅使得科學知識的內容有了本質的變化，而且也使得用來表示這些知識的基本概念有了本質的變化。然而，雖然有這種極大的差異，我們還是有可能藉助於Bohr的對應原理來建立量子理論，使其在經典極限下過渡到經典理論。儘管如此，我們仍然不能得出這樣的結論：經典理論只是量子理論的一種極限形式，或者說，經典理論在邏輯上是量子理論的一種特殊情形。關於經典概念與量子概念之間關係的研究表明，目前形式下的量子理論實際上預先假定了經典概念的正確性，因此，不能將經典概念看成是量子概念的極限形式，而必須將其與量子理論結合起來，使得這兩種概念在一套完備的描述中彼此相互補充。
物質的巨觀性質和微觀性質不是彼此毫不相干的，而是有著極密切的內在聯繫，因為量子力學的潛在可能性只有藉助精確確定的經典事件才能實現。而且，這種內在的依賴關係是相互的，只有通過構成系統的分子的量子理論，我們才能充分理解這個系統的巨觀行為。因此，為了描述整個系統的彼此互補的各個方面，巨觀性質和微觀性質二者都是必要的。實際上，經典的確定性和量子的潛在可能性，在提供關於整個系統的完備描述中是相互補充的。
相空間是一個純粹的經典力學概念，它來源於經典力學的Hamilton表述。在經典的相空間理論中，位移和動量可以同時用來精確地描述體系的狀態和計算力學量；而在量子力學中，由於受到Heisenberg測不準原理的制約，微觀粒子不可能同時有確定的位置和動量。經典系統混沌運動的主要特徵是軌道對初值的敏感性，更確切地說，是相空間中相鄰軌道間指數型分離的特性。因此，當我們試圖通過量子與經典之間的比較來研究量子動力學中的混沌現象時，最合適的描述方式是量子相空間分布表示。分布函式的概念在量子相空間理論的發展中一直占據著主導地位，藉助於量子相空間理論，我們可以在量子體系中恢復使用直觀的經典力學圖像，這正是量子相空間理論主要的意義和突出的優點。迄今為止，量子相空間理論仍在不斷地發展和完善，套用範圍也不斷地擴大，例如，該理論在統計物理學、量子光學、碰撞理論，以及非線性物理等領域中都有廣泛的套用，並獲得了一些用通常的量子力學方法難以得到的結果。
Torres-Vega和Frederick於20世紀90年代提出了一套新的量子力學相空間表述形式，這種量子相空間理論直接在相空間中定義力學量算符和Schr?dinger方程或量子Liouville方程，通過在相空間中求解這兩個方程來確定相空間中的波函式或機率密度函式。儘管從本質上說，Torres-Vega和Frederick量子相空間表象是一種相干態表象，但是該理論的優點在於，對於量子力學中的態函式而言，幾乎全部的數學性質都在相空間中得到了保留，因此，很多在通常的位移空間和動量空間中有用的方法和結果可以移植到相空間表示中來；量子相空間中的分布函式就是嚴格的量子相空間機率密度函式，因此處處為正；通過相空間中的量子Liouville方程可以直接將量子力學與經典力學對應起來；另外，這種量子相空間理論還特別適合於做半經典,尤其是多維半經典近似計算。
半經典理論是指在求解給定的量子力學問題時，尋找一類可使用經典量表達的近似解，而這個近似解在Planck常數很小時應給出正確的結果。我們知道，在處理量子力學中的具體問題時，除少數幾個例子以外，往往是不能嚴格求解的，需要採用適當的近似方法。量子力學中最常用的近似方法有兩種：微擾法和變分法。這兩種方法雖然具有極廣泛的套用，但都不適宜用來處理處於高激發態並顯示出強動力學關聯的量子系統。而量子力學中的半經典方法適用於幾乎所有的量子系統，並且常常能給出十分精確的結果，特別是許多能用半經典方法得到良好結果的問題，恰恰是用傳統量子力學計算方法求解時由於收斂太慢而無法得到正確答案的問題。另外，從量子系統的半經典描述中，我們往往能直接看到系統經典軌道行為的影響，這一特點使得它特別適合於用來描述各種經典現象的量子表現。
Wentzel, Kramers和Brillouin提出的求解Schr?dinger方程的一種半經典近似方法，成功地處理了勢壘穿透這一重要的實際問題，並為早期量子論中的角動量量子化條件提供了量子力學的根據。然而，這種方法主要用來求解一維問題，雖然也能推廣套用到可分離的多自由度系統上去，但不適用於不可積系統，因而不能用來討論與經典混沌有關的量子現象。一種既適用於可積系統，也適用於不可積系統的半經典近似方法，是對量子力學中傳播子的路徑積分表達式做半經典近似估算，這種半經典方法的一個重要發展是Gutzwiller等人提出的態密度的周期軌道理論。該理論將量子Green函式用經典表達式代替，並採用數學中的穩相近似，得到了態密度的半經典表達式。由於Gutzwiller的半經典周期軌道理論對於不可積系統同樣成立，因此，該理論已成為人們探索所謂的“量子混沌運動”的有力工具。
Du和Delos在考慮磁場中的激發態原子時發展了一套與半經典的周期軌道理論相類似的閉合軌道理論，該理論成功地解釋了困擾原子物理學近20年的準Landau振盪現象。不嚴格地說，量子力學中體系從一個態躍遷到另一個態，對應於經典力學中粒子從一個點跑到另一個點。按照Feynman路徑積分理論，兩個點之間的各軌道均應一視同仁地考慮，但是，沿不同軌道所貢獻的幾率波的相位不同，因而會導致干涉現象。這種干涉現象使一些軌道彼此相消，而另一些軌道則大大加強了。每一個這種加強了的軌道，均可以用一個正弦振盪項來表示，並對應著一個量子躍遷過程。而體系的量子譜函式作為能量的函式，可以表示成背景項加上很多正弦振盪項。這種半經典的近似方法不僅可以用來描述量子躍遷的經典本質，而且還可以在量子力學和經典力學之間架起一座橋樑，使量子力學中某些複雜的計算問題通過這種半經典近似得以大大地簡化。
本書首先在Torres-Vega和Frederick量子相空間表象框架下，採用量子力學中的波動力學方法，對量子力學和量子化學中的一些典型的量子小體系問題進行了系統的研究，獲得了?δ?勢場、氫原子、諧振子和具有經驗勢能函式的雙原子分子振子等體系的定態Schr?dinger方程的嚴格解，並將這種方法推廣到處理用於模擬Bose-Einstein凝聚態的非線性Schr?dinger方程。這些研究顯示了相空間中定態Schr?dinger方程解的不唯一性。我們發現，通過解定態Schr?dinger方程得到的相空間本徵函式可以利用“類Fourier”投影變換分別投影到位移空間和動量空間中去，從而得到相應空間中的本徵函式。我們還利用相空間中的量子機率密度函式詮釋了相空間中的Heisenberg測不準原理。
然後，我們在閉合軌道理論思想的基礎上，用系統的本徵值和本徵波函式定義了一種新的量子譜函式作為能量的函式，這種量子譜函式的Fourier變換包含了該系統從一個給定點到另一個給定點的經典軌道的信息，從而提出一種新的經典--量子對應，發展了周期軌道理論和閉合軌道理論的思想。我們再以一類量子小體系--二維矩形腔中的彈子球運動為例，定量地計算了所定義的量子譜函式，揭示了這種量子譜函式與經典軌道之間的對應關係，描述了這種量子小體系中的量子輸運過程。另外，我們還針對另一個有趣的量子小體系做了類似的研究，這個系統的二維矩形腔的長度和寬度是按比例連續變化的。由於各種形狀二維腔彈子球的動力學研究與納米器件的輸運性質密切相關，因此，對這類量子小體系輸運過程的研究具有較高的套用價值。
限於作者的學識水平，加之成書時間倉促，本書定有疏漏、不當甚至錯誤之處，我們誠摯地懇請讀者不吝給予指正。我們正對此翹首以待，不勝感激。
作者謹識
2012年5月
圖書目錄
第1章 緒論●1
參考文獻 /8
第2章 量子相空間理論與波動力學方法●17
2.1 相空間表象 /17
2.2 Torres-Vega和Frederick量子相空間理論 /18
2.2.1 態函式的相空間表示 /18
2.2.2 力學量算符的相空間表示 /19
2.2.3 表象間的態函式變換 /21
2.3 量子相空間表象中的波動力學方法 /22
2.3.1 Torres-Vega和Frederick量子相空間表象中的Schr?dinger方程 /22
2.3.2 Torres-Vega和Frederick量子相空間表象中的量子平均值 /23
2.4 Torres-Vega和Frederick量子相空間表象中的一些可解體系 /23
2.4.1 位移和動量算符的本徵函式 /24
2.4.2 諧振子模型 /25
參考文獻 /27
第3章 量子相空間表象中的?δ?勢場●29
3.1 ?δ?勢場 /29
3.2 相空間中?δ?勢場的嚴格解 /30
3.2.1 相空間中的定態Schr?dinger方程 /30
3.2.2 ?δ?勢壘的穿透 /31
3.2.3 ?δ?勢阱中的束縛態 /33
3.3 相空間中的測不準原理 /35
參考文獻 /40
第4章 相空間中的一維氫原子●42
4.1 氫原子與自然單位 /42
4.2 相空間中一維氫原子的嚴格解 /43
4.3 相空間中的投影變換 /45
參考文獻 /47
第5章 相空間中的雙原子分子振子●48
5.1 雙原子分子的振動 /48
5.2 相空間中雙原子分子振子的嚴格解 /49
5.2.1 具有經驗勢能函式的雙原子分子振子 /49
5.2.2 相空間中的嚴格解 /50
5.3 相空間中的分布函式 /52
參考文獻 /56
第6章 相空間中的諧振子●58
6.1 相空間中的一維諧振子 /58
6.2 相空間中的三維諧振子：直角坐標系 /61
6.3 相空間中的三維各向同性諧振子：球坐標系 /63
6.4 相空間波函式與投影變換 /66
附錄 /70
參考文獻 /71
第7章 相空間中的非線性Schr?dinger方程與Bose-Einstein凝聚●72
7.1 相空間中非線性Schr?dinger方程的解 /73
7.2 排斥性相互作用 /75
7.3 吸引性相互作用 /75
7.4 相空間中位移方向的雙曲函式解 /76
參考文獻 /79
第8章 矩形腔中的彈子球系統●81
8.1 新的量子譜函式 /83
8.2 二維矩形腔的新量子譜 /83
8.3 量子譜與經典軌道的對應 /86
8.4 二維矩形腔中的閉合軌道 /87
參考文獻 /88
第9章 連續變化的矩形腔系統●90
9.1 連續變化矩形腔系統的量子譜 /91
9.2 連續變化矩形腔中的量子譜與經典軌道 /93
9.3 連續變化矩形腔中的閉合軌道 /95
參考文獻
