定義
對偶空間:一個賦范線性空間H上所有連續線性泛函所組成的空間稱為H的對偶空間,記作H*
定義函式:在H*上定義函式
里斯表示定理
里斯表示定理其中 是H上的內積。
里斯表示定理里斯表示定理:映射 是一個等距同態映射。
里斯表示定理
里斯表示定理
里斯表示定理等距同態映射意味著：映射 是雙射， ，在複數域C上有:
希爾伯特空間表示定理
這個定理建立了希爾伯特空間與它的連續對偶空間的一個重要聯繫：如果底域是實數，兩者是等距同構；如果域是複數，兩者是等距反同構。如下所述，（反）同構是特別自然的。
里斯表示定理
里斯表示定理 里斯表示定理
里斯表示定理
里斯表示定理
里斯表示定理 里斯表示定理
里斯表示定理設 是一個希爾伯特空間，令 表示它的對偶空間，由從 到域 或 的所有連續線性泛函。如果 是 中一個元素，則函式 定義為
里斯表示定理 里斯表示定理
里斯表示定理 里斯表示定理是 的一個元素，這裡表示希爾伯特空間的內積。里斯表示定理斷言中任何元素都能惟一地寫成這種形式。
定理：映射
里斯表示定理是一個等距（反）同構，這就是說：
里斯表示定理是雙射。
里斯表示定理
里斯表示定理
里斯表示定理的範數與 的範數相等：。
里斯表示定理
里斯表示定理可加：。
里斯表示定理
里斯表示定理
里斯表示定理如果底域是，則 對所有實數。
里斯表示定理
里斯表示定理 里斯表示定理
里斯表示定理 里斯表示定理如果底域是，則對所有複數，這裡 表示 的復共軛。
里斯表示定理 里斯表示定理 里斯表示定理 里斯表示定理 里斯表示定理
里斯表示定理
里斯表示定理的逆映射可以描述為： 給定中一個元素，核 的正交補是的一維子空間。取那個子空間中一個非零元素，令。則 Φ( x) = φ。
里斯表示定理
里斯表示定理
里斯表示定理
里斯表示定理歷史上，通常認為這個定理同時由里斯和弗雷歇在1907年發現（見參考文獻）。格雷（Gray）在評論從他認為是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的發展時說：“給定運算，可以構造有界變差函式，使得無論連續函式是什麼，都有”
里斯表示定理
里斯表示定理在量子力學的數學處理中，這個定理可以視為流行的狄拉克符號記法的根據。當定理成立時，每個右括弧 有一個相應的左括弧，對應是清楚的。但是存在拓撲向量空間，比如核空間（Kernel space），里斯表示定理不成立，在這樣的情形狄拉克符號變得不合適。
Cc(X) 上線性泛函的表示定理
下面的定理表示出 C( X) 上的正線性泛函，緊支集連續復值函式空間。下面所說的波萊爾集表示由開集生成的σ-代數。
局部緊豪斯多夫空間 X上一個非負可數可加波萊爾測度 μ 是 正則的（regular）若且唯若
•μ(K) < ∞ 對所有緊集K；
•對每個波萊爾集E，
里斯表示定理開 }.
•關係成立只要E是開集或者E是波萊爾集且 μ(E) < ∞。
里斯表示定理緊 }
定理：設X是一個局部緊豪斯多夫空間。對 Cc(X) 上任何正線性泛函ψ，在X上存在惟一的波萊爾正則測度μ 使得
里斯表示定理對所有 f∈ C( X)。
里斯表示定理領略測度論的一個途徑是從 拉東測度開始，其可定義為上的一個正線性泛函。這種方式由布爾巴基採取；這裡顯然假設X首先是一個拓撲空間，而不僅是一個集合。若X為局部緊空間，則可重新建立一個積分理論。
C0(X) 的對偶空間的表示定理
下面定理也稱為里斯-馬爾可夫定理，給出了 C0(X) 的對偶空間的一個具體實現，X上在無窮遠趨於零的連續函式。定理陳述中的波萊爾集契約樣指由開集生成的 σ-代數。結論與上一節類似，但不能包含在前一個結果之中。參見下面的技術性注釋。
如果 μ 是一個復值可數可加波萊爾測度，μ 是正則的若且唯若非負可數可加測度 |μ| 正則（上一節所定義的）。
定理：設X是一個局部緊豪斯多夫空間。對 C0上任何連續線性泛函ψ，存在X上惟一正則可數可加波萊爾測度 μ 使得
里斯表示定理對所有f∈ C0(X)。ψ 的範數作為線性泛函是 μ 的全變差（total variation），即
里斯表示定理最後，ψ 是正的若且唯若測度 μ 是非負的。
註：Cc(X) 上任何有界線性泛函惟一延拓為 C0(X) 上有界線性泛函，因為後一個空間是前者的閉包。但是 Cc(X) 上一個無界正線性泛函不能延拓為 C0(X) 上一個有界線性泛函。因此前兩個結論套用的情形稍微不同。
