近似導數
近似導數（approximate derivative）
導數概念的一種推廣，其中普通極限用近似極限 (approximate limit)代替.設f(x)為單實變數x的函 數，若極限 f(x、一f(xn、 111】1 aD x、少。‘X一Xo 存在，則稱它為f(x)在x。的零似號攀(approxima‘e de- rivative)，並記為fap(x0).最簡單的情形是，f(x)為實 值函式，一般地，它是一個向量值函式.近似導數可以 為有限或無限.關於導數的和、差、積、商的經典微分法 近似導數[即p閱ximate deri拍DVE洲.甲牟~~n卯- “，嘆機”.，1 則，對有限近似導數也成立;複合函式的求導定理，對近 似導數而言，一般不成立.近似導數的概念首先由A Ya. Khinchin於1 916年引人. 對於通常的Dini導數(Dini derivative)，可以類 似地定義近似Dini導數(approximate Dini derivati- ves):Ad(x。)—右方取的lim sup:又J(x。)一右方取的 lim inf:人(x。)一左方取的lim sup;又。
(x。)一左方取 的lim inf;例如 _f(x、一f(xn) 八d氣XO)=Um aP—· x、xo，一x一xo x>xo 下面的Denjoy一X犯l下叨J宇浮(Denjoy一Khinchin‘he- OREMS)成立.設實值函式f(x)在集合E上有限且 Lebesgue可測，那么對於E的幾乎所有的點，f(x)或 者具有有限的近似導數，或者 AJ(x)=A，(x)=+oo，又J(x)=又，(x)=一004 若 F(x)=jf(，)dt 為Denjoy一Khinchin積分，則在所考慮的區間上，幾乎 處處有幾。
(x)=f(x)(普通導數可以在一個正測度集 上不存在).這個定理說明了近似導數在積分論中所 起的作用. 在給定區間上，存在著這樣的連續函式，它處處不 存在普通導數或近似導數. 多元函式的近似偏導數也可以同樣考慮. [補註]有關其他文獻，參見近似極限(aPProximate limit).
