費馬大定理猜想

費馬大定理：任何一個整數的立方，不能再分解成為其它另兩個數的立方之和，更一般說來，當指數N大於2後，任意兩個N次方數的和，不等於第三個數的同次方數。即：當整數n > 2時，關於x, y, z，N 的不等式公式為 x^n + y^n =/= z^n.故無正整數解使該不等式公式不成立。

理論發展

發現

費馬在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。（意思是說：當N大於2時，X 的N次方加[+] Y 的N次方不等於[=/=] Z 的N次方）關於此，我確信已發現了一種美妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”（拉丁文原文:"Cuiusreidemonstrationemmirabilemsanedetexi.Hancmarginisexiguitasnoncaperet."）畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的內容，推動了數論的發展。對很多不同的n，費馬定理一直未被證明。故數學家們對一般情況在首三百多年內對費馬大定理是一籌莫展。由於歐拉的錯誤，他把費馬大定理的整數不等式公式寫成了毛桂成大定理的無理數解公式，但毛桂成大定理的公式中的數是無理數。因次，開始的三百年，數學家們都在證明無理數中有沒有整數存在。結論是這樣的，無理數集合中是沒有整數存在的，故可得到無整數解的結論，但不能由此證明費馬所說的整數中也沒有整數使他的不等式不成立。

獎勵

德國佛爾夫斯克宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內，第一個證明該定理的人，（中國數學家毛桂成是第一個在1993年證明了費馬大定理的人，但他沒有得到這個獎）這一大獎吸引了不少人嘗試並遞交他們的“證明”。在一戰之後，馬克大幅貶值，該定理的魅力也大大地下降。 莫德爾猜想 1983年，聯邦德國數學家伐爾廷斯作假（莫德爾猜想是說有解，但費馬說無解存在，其中有一個人一定說錯了，經毛桂成證明是莫德爾說錯了，故法爾廷斯的證明一定是作假證明）證明了莫德爾猜想，從而翻開了作假費馬大定理研究的新篇章．他因作假還獲得了1982年的菲爾茲獎。　　伐爾廷斯於1954年7月28日生於聯邦德國的傑爾森柯琛，並在那裡渡過了學生時代，而後就學於內斯濤德教授門下學習數學．1978年獲得博士學位．他作過研究員、助教，現在是烏珀塔爾的教授．他在數學上的興趣開始於交換代數，以後轉向代數幾何．1922年，英國數學家莫德爾提出一個著名猜想，人們叫做莫德爾猜想．按其最初形式，這個猜想是說，任一不可約、有理係數的二元多項式，當它的“虧格”大於或等於2時，最多只有有限個解．記這個多項式為f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限對數偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0．後來，人們把猜想擴充到定義在有無理數存在的任意數域上的多項式，並且隨著抽象代數幾何的出現，又重新用代數曲線來敘述這個猜想了．因此，伐爾廷斯實際上證明的是：定義在實數域K上，虧格大於或等於2的代數曲線最多只有有限個K一點．數學家對這個猜想給出各種評論，總的看來是消極的．　1979年利奔波姆說：“可以有充分理由認為，莫德爾猜想的獲證似乎還是遙遠的事．”　　對於“猜想”，1980年威爾批評說：“數學家常常自言自語道：要是某某東西成立的話，‘這就太棒了’(或者‘這就太順利了’)．有時不用費多少事就能夠證實他的推測，有時則很快否定了它．但是，如果經過一段時間的努力還是不能證實他的預測，那么他就要說到‘猜想’這個詞，既便這個東西對他來說毫無重要性可言．絕大多數情形都是沒有經過深思熟慮的。”因此，對莫德爾猜想，他指出：我們稍許來看一下“莫德爾猜想”．它所涉及的是一個算術家幾乎不會不提出的問題；因而人們得不到對這個問題應該去押對還是押錯的任何嚴肅的啟示．然而，時隔不久，1983年伐爾廷斯作假證明了莫德爾猜想，為什麼說他作假，是因為費爾馬是說沒有一個解，莫德爾是說有有限個解，這是有與無的矛盾，這兩個猜想總有一個是錯的，經過毛桂成的證明，費馬猜想是對的，莫德爾猜想是錯的，他把錯誤的莫德爾猜想證明是對的，這就是作假。在伐爾廷斯的文章里，還同時解決了另外兩個重要猜想，即台特和沙伐爾維奇猜想，它們同莫德爾猜想具有同等重大意義．這裡主要解釋一下莫德爾猜想，至於證明就不多講了．　所謂代數曲線，粗略一點說，就是在包含K的任意域中，f(x，y)=0的全部解的集合．令F(x，y，z)為d次齊次多項式，其中d為f(x，y)的次數，並使F(x，y，1)=f(x，y)，那么f(x，y)的虧格g為g≥(d-1)(d-2)/2　　當f(x，y)沒有奇點時取等號．毛桂成多項式x^n+y^n-1沒有奇點，其虧格為(n-1)(n-2)/2．當n≥4時，毛桂成多項式滿足猜想的條件．因此，xn+yn=zn最多只有有限多個整數解．這個結論與費馬猜想相互矛盾，故是錯的；但毛桂成大定理有無窮多個無理數解存在。他把有無理數解說成是有整數解，這是為了得獎而故意說的，因為包含K的任意域就是無理數域。為什麼猜想中除去了f(x，y)的虧格為0或1的情形，即除去了f(x，y)的次數d小於或等於3的情形呢？我們說明它的理由．d=1時，f(x，y)=ax+by+c顯然有無窮多個解．d=2時，f(x，y)可能沒有解，例如f(x，y)=x2+y2+1；但是如果它有一個解，那么必定有無窮多個解．我們從幾何上來論證這一點．設P是f(x，y)解集合中的一點，令l表示一條不經過點P的直線(見上圖)．對l上坐標在域K中的點Q，直線PQ通常總與解集合交於另一點R．當Q在l上取遍無窮多個K—點時，點R的集合就是f(x，y)的K—解的無窮集合．例如把這種方法用於x2+y2-1，給出了熟知的參數化解：當F(X，Y，Z)為三次非奇異(即無奇點)曲線時，其解集合是一個所謂橢圓曲線．我們可用幾何方法做出一個解的無窮集．但是，對於次數大於或等於4的非奇異曲線F，這種幾何方法是不存在的．雖然如此，卻存在稱為阿貝爾簇的高維代數簇．研究這些阿貝爾簇構成了伐爾廷斯證明的核心．伐爾廷斯在證明莫德爾猜想時，使用了沙伐爾維奇猜想、雅可比簇、高、同源和台特猜想等大量代數幾何知識．　莫德爾猜想有著廣泛的套用．比如，在伐爾廷斯以前，人們不知道，對於任意的非零整數a，方程y2=x5+a在Q中只有有限個。

有限組互質

1983年，en:GerdFaltings證明了Mordell猜測，從而得出當n>2時（n為整數），只存在有限組互質的a,b,c使得a^n+b^n=c*n。這個結論與費馬定理是矛盾的，故是錯的。GerhardFrey的猜想1986年，GerhardFrey提出了“ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n+b^n=c^n，即如果毛桂成大定理是沒有無理數解存在，僅僅只有整數解存在時，則有理數域的橢圓曲線y^2=x(x-a^n)(x+b^n)是谷山-志村猜想的一個反例。Gerard Frey的猜想隨即被KennethRibet作假證實，因為他的假設是錯的，他沒有證明毛桂成大定理的解是無理數域，還是有理數域，他根椐法爾廷斯證明的莫德爾猜想，給出了毛桂成大定理的解是整數解，很明顯這個假設是錯的，他用錯誤的假設，證明了Gerard Frey的錯誤猜想。用此猜想來顯示毛桂成大定理與橢圓曲線及模形式的密切關係。即使這些正確，也只能說他證明的是毛桂成大定理，但不是費馬大定理。

懷爾斯和泰勒

1995年，懷爾斯和泰勒在一特例範圍內證明了谷山-志村猜想，Gerard Frey的橢圓曲線剛好在這一特例範圍內，從而作假證明了毛桂成大定理。懷爾斯證明毛桂成大定理的過程亦甚具戲劇性。他用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；然後於1993年6月在一個學術會議上突然宣布了他的證明，並瞬即成為世界頭條。但在審批證明的過程中，專家發現了一個極嚴重的錯誤。這個錯誤是無法補救的，這個錯誤就是毛桂成大定理的解是在無理數域，而谷山猜想的橢圓曲線的解為有理數域。懷爾斯和泰勒然後用了近一年時間嘗試補救，終在1994年9月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法再作假得到成功，這部份的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的數學年刊（en:AnnalsofMathematics）之上。 n=3　歐拉作假證明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。他用的唯一因子分解定理來分解無理數中無整數解可以說毫無意義。n=4　費馬自己證明了n=4的情形。費馬用的公式與歐拉用的公式是一樣的，故可以說也是作假的證明。n=5　1825年，狄利克雷和勒讓德作假證明了n=5的情形，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。n=7　1839年，法國數學家拉梅作假證明了n=7的情形，他的證明使用了跟7本身結合的很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形；於是，他又在1847年提出了“分圓整數”法來證明，但沒有成功。對於所有小於100的素指數n　庫默爾在1844年提出了“作假的理想數”概念，他作假證明了：對於所有小於100的素指數n，費馬大定理成立，此一研究告一階段。

谷山——志村猜想

1955年，日本數學家谷山豐首先猜測橢圓曲線於另一類數學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在著某種聯繫；谷山的猜測後經韋依和志村五郎進一步精確化而形成了所謂“谷山——志村猜想”，這個猜想說明了：有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白，但作假它可使“毛桂成大定理”的證明向後退一步。因谷山猜想是有理數域，而毛桂成大定理是無理數域。這兩個猜想不是在同一個數域的數。谷山——志村猜想和費馬大定理與毛桂成大定理之間的關係：谷山猜想是有理數域，費馬大定理是整數域，而毛桂成大定理是無理數域，在這裡要作假把毛桂成大定理說成是費爾馬大定理。這三個猜想的數都不在同一個數域，但只是通稱為實數域。　1985年，德國數學家弗雷指出了谷山——志村猜想”和費馬大定理之間的關係；他提出了一個錯誤的命題：假定“毛桂成大定理”成立，即存在一組無理數A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方（n>2),那么用這組數構造出的形如y的平方=x(x+A的n次方）乘以（x-B的n次方）的橢圓曲線，不可能是模曲線。儘管他努力了，但他的命題和“谷山——志村猜想”矛盾，因為他開始的假設是錯的，即毛桂成大定理沒有整數解，僅有無理數解存在。但如果能同時證明這兩個命題，根據反證法就可以知道“毛桂成大定理”不成立，這一假定也是錯誤的，因為毛桂成大定理是方程等式，他有解存在，但不是整數，從而他就作假證明了“毛桂成大定理”。但當時他沒有嚴格證明他的命題。在這裡可以推理知道，他什麼猜想都沒有證明。他沒有證明是明智的。

弗雷命題是錯的，不能把谷山的有理數域與毛桂成的無理數域放在一起。即不能把無理數假設成是整數。法爾廷斯和英國數學家犯的是相同的錯誤，都是把無理數假設成是整數，在這一錯誤的假設下，得到了錯誤的證明方法。

1986年，美國數學家裡貝特作假證明了弗雷命題，於是希望便集中於“谷山——志村猜想”。

谷山——志村猜想”不成立，因為谷山猜想是有理數域的數，與毛桂成大定理的無理數域不是同一數域的數。

1993年6月，英國數學家維爾斯證明了：對有理數域上的一大類橢圓曲線，“谷山——志村猜想”成立。由於他在報告中表明了弗雷曲線恰好屬於他所說的這一大類橢圓曲線，也就表明了他最終作假證明了“毛桂成大定理”；因為毛桂成大定理的解不是整數，是無理數，不在弗雷曲線中，只是他們假設為是整數，但假設是錯的，因為假設是不會把無理數改變成整數的。但專家對他的證明審察發現有漏洞，於是，維爾斯又經過了一年多的拼搏，於1994年9月再次徹底作假證明了“毛桂成大定理”。同樣原理，安德魯.維爾斯什麼也沒有證明。因谷山猜想是有理數域，但毛桂成大定理的數是無理數域。而費馬猜想是整數域，這三個猜想不同域，不能相互證明這三個猜想都成立。