角平分線的性質

三角形的一個內角的平分線與它的對邊相交，連線這個角的頂點和交點之間的線段叫三角形的角平分線。（也叫三角形的內角平分線。）角平分線的性質，主要有1，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，是指點到直線的距離，在套用時必須含有垂直這個條件 否則不能得到線段相等，外角平分線上的點到角兩邊的反向延長線的距離相等，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；2，角平分線分得的兩個角相等，都等於該角的一半；3，三角形的三條角平分線交於一點，稱作三角形內心。三角形的內心到三角形三邊的距離相等。

基本信息

• 中文名：角平分線的性質
• 英文名：property of bisector of an angle

• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：幾何

內容

角平分線的性質

角平分線的性質
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
性質：“距離”是指點到直線的距離，在套用時必須含有垂直這個條件，否則不能得到線段相等。
判定：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。
註：外角平分線上的點到角兩邊的反向延長線的距離相等。
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

定理

角平分線

三角形的角平分線：
從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線(bisectorofangle)。
三角形的內心：三角形三個角平分線的交點叫做三角形的內心。
內角平分線的性質定理性質1：在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
性質2：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。
綜合性質1與性質2，可得到如下結論：
角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。
三角形內角平分段性質定理，其內容是：
三角形內角平分線分對邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例。

證明

●三角形內角平分線分對邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例．
即在三角形ABC中，當AD是頂角A的角平分線交底邊於D時，BD/CD=AB/AC.
證明：
如圖，AD為△ABC的角平分線，過點D向邊AB,AC分別引垂線DE,DF.則DE=DF.
S△ABD：S△ACD=BD/CD
又因為S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC
所以BD/CD=AB/AC.

角

第一部分
1.角平分線可以得到兩個相等的角。
角平分線，顧名思義，就是將角平分的射線。
如右圖，若射線AD是角CAB的角平分線，則角CAD等於角BAD。第二部分
2.角平分線線上的點到角兩邊的距離相等。
如右上圖，若射線AD是∠CAB的角平分線，求證：CD=BD
∵∠DCA=∠DBA
∠CAD=∠BAD
AD=AD
∴△ACD≌△ABD
∴CD=BD

圖1

第三部分
3.三角形的三條角平分線交於一點，稱作三角形的內心。三角形的內心到三角形三邊的距離相等。
這一條是第二條的引申，詳細證明過程參照第二條和三角形內心。第四部分

圖2

圖3

4.三角形一個角的平分線，這個角平分線其對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。
如右下圖，平面內任意一小於180度的∠MAN，AS平分∠MAN，直線BC分別交射線AM、AN、AS於B、C、D，求證：AB/BD=AC/CD：
作BE=BD交射線AS於E，如圖1：
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=∠ADC
又∵∠BAE=∠CAD,
∴△AEB∽△ADC,
∴AB/BE=AC/CD,即AB/BD=AC/CD.
另外的情況，
如圖2，直線BC交AS的反向延長線於D,
如圖3，直線BC交AN的反向延長線於C;
此時，仍有AB/BD=AC/CD
證法與圖1類似

逆定理

角

【角平分線逆定理】
1.到角兩邊的距離相等的點在角平分線上。
2.平面內任意一小於180度的∠MAN如圖，直線BC分別交半直線AM、AN、AS於B、C、D，AB/BD=AC/CD則：AS平分∠MAN
下面給出證明過程：
證明：過B作BH∥AC交AS於H
∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)
∴AC/CD=HB/BD
又AB/BD=AC/CD
∴AB=BH
∴∠BHA=∠BAH=∠HAC
∴AS平分∠MAN