證明
●三角形內角平分線分對邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例．
合併圖冊即 在三角形ABC中，當AD是頂角A的角平分線交底邊於D時，BD/CD=AB/AC.
證明：
如圖，AD為△ABC的角平分線，過點D向邊AB,AC分別引垂線DE,DF.則DE=DF.
：S=BD/CD
又因為S：S=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC
所以BD/CD=AB/AC.
第一部分
1.角平分線可以得到兩個相等的角。
角平分線，顧名思義，就是將角平分的射線。
如右圖，若射線AD是角CAB的角平分線，則角CAD等於角BAD。
第二部分
2.角平分線線上的點到角兩邊的距離相等。
如右上圖，若射線AD是∠CAB的角平分線，求證：CD=BD
∵∠DCA=∠DBA
∠CAD=∠BAD
AD=AD
∴△ACD≌△ABD
∴CD=BD
第三部分
3.三角形的三條角平分線交於一點，稱作三角形的內心。三角形的內心到三角形三邊的距離相等。
這一條是第二條的引申，詳細證明過程參照第二條和三角形內心。
第四部分
4.三角形一個角的平分線，這個角平分線其對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。
如右下圖，平面內任意一小於180度的∠MAN，AS平分∠MAN，直線BC分別交射線AM、AN、AS於B、C、D，求證：AB/BD=AC/CD：
作BE=BD交射線AS於E，如圖1：
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=∠ADC
又∵∠BAE=∠CAD,
∴△AEB∽△ADC,
∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.
另外的情況，
如圖2，直線BC交AS的反向延長線於D,如圖3，直線BC交AN的反向延長線於C;
此時，仍有AB/BD=AC/CD
證法與圖1類似
逆定理
【 角平分線逆定理】
1.到角兩邊的距離相等的點在角平分線所在直線或它外角平分線所在直線上。
2.平面內任意一小於180度的∠MAN如圖，直線BC分別交半直線AM、AN、AS於B、C、D，AB/BD=AC/CD則：AS平分∠MAN
證明：過B作BH∥AC交AS於H
∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)
∴AC/CD=HB/BD
又AB/BD=AC/CD
∴AB=BH
∴∠BHA=∠BAH=∠HAC
∴AS平分∠MAN
