概念
行列式映射(determinant map)是交換環的K到皮卡群的一種映射。設R為交換環，行列式映射為K(R)到Pic R的一個群的滿同態。由K(R)對H(R)的分解式K(R)H(R)⊕rK(R)知，有單同態θ：H(R)→K(R)，使對任何f∈H(R)：Spec R→Z，都有相應於f的正交冪等元分解1=e+e+…+e。若f(D(Re))=n，其中D(Re)為不包含Re的R之素理想集合，則：
行列式映射
行列式映射記。對任意的有限生成投射R模M，若：
行列式映射且[M]↦〈∧ N〉，其中∧ 表n次外乘冪而n=max n，則有行列式映射det：K(R)→Pic R，其中Pic R為R的皮卡群。行列式映射det也是函子K和Pic間的自然變換，即g：R→S為環同態時，
行列式映射環論
抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：
1.R對加法為交換群，稱為R的加法群，記為(R，+)；
2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半群，稱為R的乘法半群；
3.乘法對加法的左、右分配律成立，即a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律)；
則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象.環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾范德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。
20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。
另一方面，由群表示研究的影響，產生模、群環與分次環的理論.20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然，早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了群代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代後，由於分次代數的推動，群代數進入新的階段——交叉積的研究。分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及群表示論的推動，環論已進入一個新的階段。
若環R的乘法適合交換律，則稱R為交換環.乘法半群的左(右)單位元，稱為環R的左(右)單位元。乘法半群的單位元稱為環R的單位元。(R，+)的零元稱為環R的零元。在一個元構成的環中，零元是單位元，但兩個以上的元構成的環中，零元一定不是單位元.環R的一個非空子集合S，若對R的加法、乘法也構成環，則稱S是R的子環。S是R的子環若且唯若對任意a，b∈S恆有a-b∈S，ab∈S。
比結合環條件較弱的是非結合環，非結合環與代數受量子力學的刺激發展起來，但其研究的方法和思路基本上沿著結合環的格式，並早已趨完整.比結合環更弱的環類是擬環與半環，雖然早在20世紀40年代，就分別由扎森豪斯(Zassenhaus，H.)和范迪維爾(Vandiver，H.S.)提出，但它們的發展是20世紀60年代以來，受自然科學和數學其他分支(如非線性同調代數、非線性幾何、泛函分析、組合數學、動力系統和計算機科學)的推動而迅速成熟起來的，現已成為環論的獨立分支。
皮卡群
一種阿貝爾群。指由環空間引出的一種群。環空間(X，O)的可逆層的同構類所成的群。群的運算由可逆層的張量積所誘導。X的皮卡群記為Pic(X)(或PicX)，自然同構於上同調群H(X，O)，這裡O是O的可逆元構成的層。當X是代數閉域上的光滑代數簇時，Pic(X)是一個代數群，它的零連通分支Pic(X)是一個阿貝爾簇，稱為皮卡簇。
