數學表示
蒙日一安培方程
蒙日一安培方程定義兩個非獨立變數，以及一個獨立變數，蒙日-安培方程可以表述為：
蒙日一安培方程
蒙日一安培方程
蒙日一安培方程這裡的為一階變數，是唯一的非獨立函式。
Rellich定理
蒙日一安培方程
蒙日一安培方程 蒙日一安培方程 蒙日一安培方程 蒙日一安培方程是一個的有界區域，在上是關於的連續函式，蒙日-安培方程的狄利克雷問題可以表示為：
蒙日一安培方程
蒙日一安培方程
蒙日一安培方程如果有，那么這個狄利克雷問題至多兩個解。
橢圓型蒙日-安培方程
蒙日一安培方程
蒙日一安培方程如果，且是一個正值函式，那么蒙日-安培方程：
蒙日一安培方程是一個完全非線性橢圓型偏微分方程。
套用
蒙日一安培方程 蒙日一安培方程該方程在微分幾何、變分法、最最佳化問題及傳輸問題等領域有廣泛套用。 在通過圖像的匹配進行搜尋時，輸入一個圖像，在網上尋找最相近的圖像。黑白照片由灰黑色點組成，可以看成是一個機率分布：該點的顏色越黑，就認為該點的機率密度越大。於是兩張照片匹配問題就轉化為兩個機率分布的匹配問題。1991年，白羅尼發現，如果這兩個分布都是連續分布，那么這個匹配對應的可以寫成一個梯度映射，其中是一個凸函式，且滿足著名的蒙日-安培方程。
