自由度[統計學術語]

自由度[統計學術語]

在統計學中,自由度指的是計算某一統計量時,取值不受限制的變數個數。通常df=n-k。其中n為樣本含量,k為被限制的條件數或變數個數,或計算某一統計量時用到其它獨立統計量的個數。自由度通常用於抽樣分布中。

基本介紹

統計學上的自由度是指當以樣本的統計量來估計總體的參數時, 樣本中獨立或能自由變化的自變數的個數,稱為該統計量的自由度。 統計學上的自由度包括兩方面的內容:

首先,在估計總體的平均數時,由於樣本中的 n 個數都是相互獨立的,從其中抽出任何一個數都不影響其他數據,所以其自由度為n。

在估計總體的方差時,使用的是離差平方和。只要n-1個數的離差平方和確定了,方差也就確定了;因為在均值確定後,如果知道了其中n-1個數的值,第n個數的值也就確定了。這裡,均值就相當於一個限制條件,由於加了這個限制條件,估計總體方差的自由度為n-1。

例如,有一個有4個數據(n=4)的樣本,其平均值m等於5,即受到m=5的條件限制,在自由確定4、2、5三個數據後, 第四個數據只能是9,否則m≠5。因而這裡的自由度υ=n-1=4-1=3。推而廣之,任何統計量的自由度υ=n-k(k為限制條件的個數)。

其次,統計模型的自由度等於可自由取值的自變數的個數。如在回歸方程中,如果共有p個參數需要估計,則其中包括了p-1個自變數(與截距對應的自變數是常量1)。因此該回歸方程的自由度為p-1。

這個解釋,如果把“樣本”二字換成“總體”二字也說得過去。

在一個包含n個個體的總體中,平均數為m。知道了n-1個個體時,剩下的一個個體不可以隨意變化。為什麼總體方差計算,是除以n而不是n-1呢?方差是實際值與期望值之差平方的期望值,所以知道總體個數n時方差應除以n,除以n-1時是方差的一個無偏估計。

自由度 (結構力學)

在結構力學上的自由度,或稱動不定度,意指分析結構系統時,有效的結構節點上的未知節點變位數。其中稱之為“有效”是因為結構構件上的任一點,都應有機會具有自由度,我們只選擇其中對分析整體結構有用的節點變位來討論,而稱為“未知”則因為為求解容易,我們通常儘可能減少自由度的數量,因此扣除已知的變位。

自由度大致有兩種型式:

旋轉的自由度和移動的自由度。

在平面中,只有三個自由度,一者為面旋轉,二者為前後及左右兩個移動。

在立體中,有六個自由度,三個為前後、上下及左右三個移動和前後、上下及左右三面旋轉。簡單來說就是沿三個坐標軸的移動和繞三個坐標軸的轉動 把構建相對於參考系具有獨立運動參數的數目稱為構件的自由度。

自由度的運用:

自由度作為結構力學中的重要概念,是描述一個結構基本情況的基本參數。在結構分析中,將自由度作為主要未知數,基本求解方法有兩種:利用變形諧合條件求解的方法,稱為力法,此法的套用範圍是未知的自由度較少的情況。利用力平衡條件求解的方法,稱為位移法,此法套用較為廣泛,尤其在求解高階超靜定結構的情況下較力法容易,適合利用線性代數(矩陣)的方式配合程式撰寫來求得欲知的自由度。

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