基礎知識
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已知函式 在區間 上 個互異點 上的函式值 ,若存在一簡單函式 ,使
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並要求誤差
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的絕對值 在整個區間 上比較小。這樣的問題稱為插值問題。
其中
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:插值節點
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:被插值函式
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:插值函式
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:插值區間
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如果在插值區間內部用 代替 則稱為內插;在插值區間以外,用 代替 則稱為外插。
簡介
線性插值是一種較為簡單的插值方法,其插值函式為一次多項式。線性插值,在各插值節點上插值的誤差為0 。
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如概述圖中所示,設函式 在兩點 , 上的值分別為 , ,求多項式
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使滿足
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由解析幾何可知
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稱 為 在 處的一階均差,記以 。於是,得
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如果按照 整理,則
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以上插值多項式為一次多項式,這種插值稱為線性插值。
幾何意義
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線性插值的幾何意義如右圖所示,即為利用過點 和 的直線 來近似原函式 。
套用
1)線性插值在一定允許誤差下,可以近似代替原來函式;
2)在查詢各種數值表時,可通過線性插值來得到表中沒有的數值。