約數個數定理

約數個數定理可以計算出一個數約數的個數，在國小奧數與中學競賽中大有用處。

約數個數定理

約數個數定理

對於一個大於1正整數n可以分解質因數：

約數個數定理

則n的正約數的個數就是。

其中a、a、a…a是p、p、p…p的指數。

定理簡證

首先同上，n可以分解質因數：n=p1^a1×p2^a2×p3^a3*…*pk^ak,

由約數定義可知p1^a1的約數有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1 ，共（a1+1）個;同理p2^a2的約數有（a2+1）個......pk^ak的約數有（ak+1）個。

故根據乘法原理：n的約數的個數就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)。

例題

例題：正整數378000共有多少個正約數？

解：將378000分解質因數378000=2^4×3^3×5^3×7^1

由約數個數定理可知378000共有正約數(4+1)×(3+1)×(3+1)×(1+1)=160個。