圖書簡介
本書是“科學與工程計算方法”課程的配套教材，介紹了科學與工程計算中最常用和最基本的數值計算方法. 本書內容充實，重點突出，強調方法的構造與套用； 推導過程既重視理論分析，又避免過多的理論證明； 對每種方法都在計算機上編程實現，並給出真解、數值解和誤差的曲面圖，讓讀者有直觀的感受.全書共9章，分別是： 兩點邊值問題的數值解法、剛性方程組的數值解法、偏微分方程的一般概念、拋物方程的差分格式、雙曲方程的差分格式、對流擴散方程的差分格式，橢圓方程的差分格式、變分問題的近似計算方程、有限元方法. 本書適合非數學專業的工科研究生或者計算數學專業高年級本科生學習使用。
目錄
第1章兩點邊值問題的數值解法
1.1兩點邊值問題
1.1.1電線上的小鳥
1.1.2化學反應的動力學模型
1．2幾種經典方法
1.2.1導數逼近方法(有限差分法)
1.2.2基函式法
1.2.3配置法
1.2.4最小二乘法
1.2.5打靶法
1．3非線性邊值問題的數值解法
1．4其他邊界條件的處理
1．5變分法
練習題
第2章剛性方程組的數值解法
2．1剛性方程組的基本概念
2．2剛性方程組的數值解法
2.2.1隱式RungeKuta法(隱式RK法)
2.2.2廣義向後差分法
練習題
第3章偏微分方程的一般概念
3．1偏微分方程的定義
3．2典型方程的導出
3.2.1弦的振動方程
3.2.2熱傳導方程
3.2.3理想流體的力學問題
3．3定解問題及其適定性
3．4工程、經濟和生物醫學中的偏微分方程
3．5二階線性方程的分類
練習題
附錄一些著名的常用的偏微分方程
第4章拋物方程的差分格式
4．1預備知識
4．1．1微積分和線性代數基本概念回顧
4．1．2差分方法的基本概念
4．2三種古典差分格式
4.2.1最簡顯式格式
4.2.2最簡隱式格式
4.2.3Richardson格式
4．3穩定性、相容性、收斂性
4.3.1穩定性
4.3.2相容性
4.3.3收斂性
4．4判別穩定性的Fourier分析方法
4.4.1最簡顯式格式
4.4.2最簡隱式格式
4.4.3Richardson格式的穩定性
4．5常係數方程的其他差分格式
4.5.1CrankNicolson差分格式
4.5.2加權隱式格式
4.5.3三層顯式格式
4.5.4三層隱式格式
4.5.5交替顯隱式格式
4.5.6緊差分格式
4．6Richardson外推法
4．7變係數拋物方程的差分格式
4.7.1顯式格式
4.7.2緊差分格式
4.7.3Keller盒式格式
4.7.4積分插值方法
4．8初邊值問題的邊界離散
4.8.1第一類初邊值問題
4.8.2第二類或者第三類初邊值問題
4．9高維拋物方程
4.9.1一般古典格式
4.9.2CrankNicolson格式
4.9.3交替顯隱格式
練習題
第5章雙曲方程的差分方法
5.1一階常係數雙曲方程簡介
5.2幾種顯式差分格式
5.2.1迎風格式
5.2.2Lax格式
5.2.3LaxWendroff格式
5.2.4跳蛙格式（LeapFog）
5.3Courant條件
5.4幾種隱式差分格式
5.4.1最簡隱式格式
5.4.2CrankNicolson格式
5.4.3Wendroff格式
5.4.4緊差分格式
5.5一階常係數雙曲方程組的差分格式
5.5.1Lax格式
5.5.2LaxWendroff格式
5.5.3迎風格式
5.5.4Wendroff格式
5.5.5蛙跳格式
5.6二階雙曲方程的差分格式
5.6.1顯式格式
5.6.2隱式格式
5.6.3加權格式
5.6.4緊差分格式
5.7等價方程組的差分格式
5.7.1LaxFriedrichs格式
5.7.2LaxWendroff格式
5.7.3隱式格式
5.7.4CrankNicolson格式
5.8雙曲方程（組）的邊值問題
5.9高維雙曲方程（組）
5.9.1二維一階雙曲方程
5.9.2二維一階雙曲方程組
5.9.3二維波動方程的差分格式
5.10變係數雙曲方程的差分格式
5.10.1一階變係數對流方程的差分格式
5.10.2變係數方程組
5.10.3變係數波動方程
練習題
第6章對流擴散方程的差分格式
6.1幾種差分格式
6.1.1中心差分格式
6.1.2修正中心顯式格式
6.1.3迎風格式
6.1.4Samarskii格式
6.1.5CrankNicolson格式
6.2特徵差分方法
6.2.1線性插值的特徵差分格式
6.2.2基於二次插值的特徵差分格式
6.3數值耗散和數值色散
6.3.1介紹
6.3.2偏微分方程的耗散與色散
6.3.3差分格式的數值耗散和數值色散
練習題
第7章橢圓方程的差分格式
7.1幾種差分格式
7.1.1五點差分格式
7.1.2九點格式
7.1.3積分方法的差分格式
7.2橢圓方程的邊界離散處理
7.2.1矩形區域
7.2.2一般區域
7.3變係數橢圓方程
7.3.1直接差分方法
7.3.2有限體積法（積分差分方法）
7.4極坐標形式的差分格式
7.5多重格線法
練習題
第8章變分問題的近似計算方法
8.1古典變分問題的例子
8.2變分問題的等價問題
8.2.1二次函式的極值問題
8.2.2泛函極值問題中的基本概念和Euler方程
8.2.3泛函極值問題的等價問題
8.3變分問題的數值計算方法
8.3.1Ritz方法
8.3.2Galerkin方法
練習題
第9章有限元方法
9.1Lagrange插值函式
9.2微分方程的弱形式
9.3一維問題的有限元方法
9.3.1線性有限元空間
9.3.2有限元方程的生成
9.3.3一維高次有限元
9.4二維有限元方法
9.4.1三角線性有限元方法
9.4.2有限元方法例題
9.4.3有限元方法的實現
9.5二維矩形雙線性元
9.6誤差估計
9.6.1一維線性有限元的誤差估計
9.6.2二維線性有限元的誤差估計
練習題
參考文獻
前言
現代科學、技術、工程中的大量數學模型都可以用微分方程來描述，很多近代自然科學的基本方程本身就是微分方程.在科學的計算機化進程中，科學與工程計算作為一門工具性、方法性、邊緣交叉性的新學科開始了自己的新發展，微分方程的求解方法也得到了前所未有的發展和套用.求解方法總體上分為解析法和數值方法兩大類，而絕大多數微分方程（特別是偏微分方程）定解問題都很難以使用解析形式來表示，本書主要關注數值方法.
本書為“科學與工程計算方法”課程的配套教材，書中主要討論科學與工程研究中的數學建模，即得到微分方程的數學模型後，如何進行近似求解.國內這方面的優秀教材不少，但都存在理論陳述與套用分析之間的巨大鴻溝.科學與工程領域的工程師們在著書描述這些數值方法的時候，往往只關心如何在他們各自領域的套用，致使讀者對數值方法基本原理的理解產生困難，妨礙他們對在其他領域套用的認知.另一方面，數學工作者撰寫此類書時，只著重於理論分析而忽視套用方面的細節.比如，邊界條件的處理、疊代法、軟體的實施等細節往往被忽視.本書著力於以簡短易懂的語言和方法介紹基本的計算方法，併兼顧套用.
由於科學與工程計算方法的前沿發展迅速，與第一版相比，本書的目標之一就是引領學生儘快進入本學科的前沿，因此本書在內容的廣度和深度上有所取捨.有些傳統的知識點在本書中不會特別詳細的介紹，比如兩點邊值問題的數值解法、高維問題的數值解法等.縱觀全書，本書將數值方法（差分法和有限元方法）的基本思想和數學軟體聯繫在一起.通過對各種方法從理論上和實踐上進行完整的描述，讓讀者更容易獲取知識，進而幫助他們開發自己的應用程式或發展新的理論，也幫助從未接觸過數值分析和編程的讀者熟悉和掌握數值算法的分析技巧和相關編程技術.
基於目前本書客群以及北京理工大學學習本課程學生的實際情況反饋，本書的讀者只需學過微積分和線性代數的知識即可.同時，在這些年的教學過程中，大部分同學一提到數學課程就頭疼，一個字——“難”.所以本書再版的宗旨就是讓讀者有興趣、有能力去閱讀數學，讓“高大上”的數學遠離，讓樸素有用的數學回歸.本書會預留一些容易推導的細節給讀者，鼓勵讀者補充那些被編者“遺忘的”（甚至“不會的”）細節作為課後習題.課後練習不是以往的“例行公事”或者“俗套化”的求解問題，而是要幫助讀者理解概念和熟悉方法，循序漸進地誘導讀者深入到數值方法的本質中去.
第二版增加的章節有：第1章、第2章、3.4節、4.1節、6.3節、7.5節、9.2節等，同時，刪除了第一版的第8章統計計算以及部分方法，其他變化相對較小的內容在這裡不一一表述了.章節增加的主要原因有如下幾點：
①基於學生的真實需求.比如第1章、第2章、6.3節的內容等，這些內容在碩士研究生的數值分析課程中基本不會涉及.在多年的一線教學中，經常遇到學生問到這些方面的知識，所以本次編寫將它們增加進來，但只是簡單介紹，旨在讓讀者初步地了解與以前課程所學知識的區別和聯繫.
②源於課程生源結構的變化，由原來的機械與機電專業而擴展到所有理工科專業，於是在第3章的偏微分方程的數學建模中增加了許多工業、工程和經濟方面的偏微分模型，也即增加了3.4節.
③加深讀者對難點知識的理解.有些比較難懂抽象的知識點，學生總是知其然不知所以然.比如有限元方法，為了讓讀者更加易於理解，增加了9.2節和9.4.2節等，目的是為了解釋為什麼要這樣考慮，或者為什麼要繼續下一步.
④儘量接近本學科的前沿.多重格線方法是最近20年疊代求解最重要的方法，於是增加了7.5節.差分格式的修正和創新離不開對原有差分格式的理論分析，因此數值色散關係是必不可少的工具，於是在講授完拋物方程和雙曲方程後，增加了此方面的內容，即6.3節.
除了正文的內容的增減外，課後習題也全部更換.編者參考了眾多國外的文獻後，重新編寫了全書的所有習題.這些習題有助於讀者深入理解，不再是例行公事般求解一個孤單的問題.此外，還應注意如下兩點：①很多學生在學習本課程之前，沒有接觸過任何偏微分方程和數學軟體的課程，所以對方程的解一無所知.為了增加同學們的感性與理性認識，於是就有了如第1章的習題6類型的習題；②有些習題的內容因課時所限，無法講授，故安排在習題中，通過分步提示來幫助解決問題，讓學生逐漸了解這些知識，比如，第3章習題9、習題10和第4章習題9等.習題是寶庫，花費了編者大量的精力，值得讀者去開採.
本書共分9章，由北京理工大學熊春光老師和中國人民武裝警察部隊學院李育安老師合作編寫，各章內容如下：
第1章和第2章講述常微分方程的數值求解，分別介紹剛性問題和兩點邊值問題的數值求解方法，它們是先行課程涉及偏少或者幾乎不講述的內容，但非常有用.第1章兩點邊值問題的求解，簡短地介紹了幾種方法，有些方法可以認為是後面內容偏微分方程數值方法的特例，相當於偏微分方程數值方法的預熱過程.第2章剛性問題的數值方法，簡單羅列了隱式RungKuta法和廣義向後差分法，是求解剛性問題的主要方法.
第3章基於大部分同學沒有學習偏微分方程課程，講述偏微分方程的起源，如何由實際問題導出經典方程，然後講述偏微分方程的基本理論.為了讓各專業的學生了解偏微分方程在他們各自專業中的套用，最後再講述工業與工程中出現的各種偏微分方程.
第4章到第7章，是本書的核心之一，主要講述四大類的偏微分方程（拋物方程、雙曲方程、對流擴散方程和橢圓方程）最主要的數值求解方法——差分方法.介紹各種差分格式是如何精巧的構造出來的，各種方法的性質和特點以及如何在實踐中套用.
第8章和第9章講述有限元方法.第8章的變分法為第9章的有限元方法做準備工作，是必不可少的一章，有助於學生理解為什麼要這樣“做”有限元.第8章主要講述變分法的基本概念、相關的近似計算方法以及它們的缺點.第9章介紹有限元方法的基本思想和幾類特殊的有限元（線性有限元、雙線性有限元以及二次有限元），最後介紹有限元方法的收斂性.
全書各章內容相互獨立，因此授課老師可以根據課時長短選取教學內容.使用本教材的課時建議（52~56學時）：第1章（3學時）、第2章（2學時）、第3章（5學時）、第4章（8~10學時）、第5章（10學時）、第6章（6學時）、第7章（6學時）、第8章（4學時）、第9章（8~10學時）.
本書的再版編寫歷時兩年，期間得到了北京理工大學研究生院和數學學院的大力支持，在此表示衷心感謝.特別地，編者要深深地感謝第一版的讀者們，他們糾正了很多錯誤並提出了非常寶貴的意見，特別是哈爾濱工程大學的沈艷老師.另外，感謝李志榮重新調試了全書新增的程式.最後，感謝清華大學出版社責任編輯的辛勤工作.
限於編者水平，書中定有不少錯誤，敬請讀者指正.希望讀者在使用本書時能反饋寶貴意見，不勝感激.
編者2015年6月
