簡介
畫法幾何是
在工程和科學技術方面，經常需要在平面上表現空間的形體。例如，我們需要在紙上畫出房屋或建築物的圖樣，以便根據這些圖樣施工建造。但是平面是二維的，而空間形體是三維的，為了使三維形體能在二維的平面上得到正確的顯示，就必須規定和採用一些方法，這些方法就是畫法幾何所要研究的。
工程實踐中不僅要在平面上表示空間形體，而且還需要套用這些表達在平面上的圖形來解決空間的幾何問題。例如，我們往往需要根據由測量結果而繪製的地形圖來設計道路或運河的線路，決定什麼地方需要開挖和填築，以及計算土方等。這些根據形體在平面上的圖形來圖解空間幾何問題，也是畫法幾何所要研究的。
綜上畫法幾何研究的內容即：
1、研究在二維平面上表達三位空間形體的方法，也就是圖示法。2、研究在平面上利用圖形來解決空間幾何問題的方法，也就是圖解法。
簡史
1103年，中
1763年，里昂學院年輕的物理學教授蒙日，在一次探親回家的途中，遇見一位搞工程的官員，對方曾看見蒙日16歲時完全憑自己的能力畫的一幅有名的地圖，他建議蒙日到梅濟耶爾的軍事學校去。蒙日沒有仔細考慮就答應了。到梅濟耶爾之後，他很快就知道自己永遠得不到軍官委任狀，因為他出身低微。他只能做實際工作，天天跟蹤測量並和製圖打交道。不過，他覺得很快活，因為這種工作使他有大量時間研究數學。學校常規課程中很重要的一部分築城術，其中的關鍵是把防禦工事設計得十分隱蔽，沒有任何部分暴露在敵方的直接火力之下，而這往往需要沒完沒了的的算術運算。有時為了解決問題，只好把已經建成的工事拆毀，再從頭開始。精通幾何的蒙日在思考如何簡化這項軍事工程的過程中發明了畫法幾何。按照他的方法，空間的立體或其他圖形就可以由兩個投影描畫在同一個平面上。這樣，有關工事的複雜計算就被作圖方法所取代。經過短期訓練，任何製圖員都能勝任這種工作。蒙日把他的發明呈交給一位高級官員。那人不相信一個繁難的工事問題能夠得到解答，於是就審查。蒙日繼續堅持，說他沒有用算術。官員只好讓步。審查結果發現，他的解答是正確的。蒙日立刻得到一個小小的教學職位，任務是把這個新方法教給未來的軍事工程師們。他被要求宣誓不泄露他的方法，畫法幾何因此作為一個軍事秘密被小心翼翼地保守了15年之久，到1794年蒙日才得到允許在巴黎師範學院將之公諸於世。沒有蒙日最初為軍事工程作的發明，19世紀機器的大規模出現也許是不可能的。畫法幾何是使機械工程成為現實的全部機械制和圖解方法的根源。
1799年法國學者G.蒙日發表《畫法幾何》一書，提出用多面正投影圖表達空間形體，為畫法幾何奠定了理論基礎。以後各國學者又在投影變換、軸測圖以及其他方面不斷提出新的理論和方法，使這門學科日趨完善。
方法
投影法
投影法是從光線照射空間形體在平面上獲得陰影這一物理現象而來的。以光源S點為投影中心，S點與形體上某個A點的連線SA為投影線（即光
多面正投影圖
空間形體具有長、寬、高三個方向的形狀大小，但它的投影只能反映兩個方向的形狀大小。為確切和全畫法幾何
畫法幾何
面地表達空間形體，必須採用多面正投影圖。
取互相垂直的兩個投影面（正立投影面和水平投影面）,用正投影法分別作出空間形體在正面和水平兩個投影面上的投影（圖2中黑色圖形部分）。再將水平投影面繞兩投影面的交線OX向下鏇轉90°，使它和正立投影面處在同一平面上，則得到空間形體的二面正投影圖。在二投影面的基礎上增加一個與正立投影面和水平投影面都垂直的側立投影面,再作出形體的側面投影（圖2中顏色圖形部分），然後將側立投影面繞它和正立投影面的交線OZ向右鏇轉90°，使它也與正立投影面處在同一平面上即可得到空間形體的三面正投影圖。多面正投影圖可以確切地表達空間形體的形狀和位置。特別是當形體上直線、平面等處在與投影面平行或垂直的某個特殊位置時，還能在其投影中反映出平面圖形的實際形狀，以及線、面或兩面間夾角的真實大小。對於不處在特殊位置的線和面，就不具有上述特徵，這時需要採用投影變換的方法解決。
投影變換
投影變換是通過改變空間形體和投影面的相對位置使問題得以解決的新投影方法。投影變換主要有換面法和鏇轉法。①換面法：空間形體不動，用新的符合解題要求的投影面來替換原有的投影面，得出空間形體新的投影。例如,在圖3中，三角板在採用換面法前與正立投影面傾斜，與水平投影面垂直，它的正立、水平兩個投影都不反映三角板的真實形狀。改用垂直於水平投影面並平行於三角板的新投影面來替換原有的正立投影面，則在新投影面和水平投影面的二面正投影圖中便反映出三角板的真實形狀。換面法的變換規律是：點的新投影到新投影軸的距離等於點的被替換投影到被替換軸的距離。
②鏇轉法：保持投影面不動，讓空間形體繞某條軸線鏇轉到需要的位置,求出新的投影。例如，若將三角板繞其本身的垂直於水平投影面的直角邊鏇轉到與正立投影面平行的位置，這時新的正立投影就能反映三角板的真實形狀。
截交線和相貫線
平面與空間形體表面的交線稱為截交線，兩空間形體表面的交線稱為相貫線。在很多情況下雖然能根據空間形體和投影面的相對位置作出空間形體的多面正投影圖，但它們之間的截交線和相貫線卻不能直接畫出，需要藉助於輔助面法或其他作圖方法畫出。展開圖
將空間形體的表面在平面上攤平後得到的圖形稱為展開圖。對於用板料製作的零件，除需要用多面正投影圖表示零件的形狀外，還常用展開圖表示零件製作前板料的形狀。依據空間形體的多面正投影圖繪製其展開圖，實質上就是求取其表面的真實形狀，這可以通過圖解或計算的方法得到。學習須知
學習方法
1、畫法幾何是按點、線、面、體，由簡及繁、由易到難的順序編排的，前後聯繫十分緊密。學習時必須對前面的基本內容真正理解，基本作圖方法熟練掌握後，才能往下做進一步的學習。2、由於畫法幾何研究的是圖示法和圖解法，涉及到的是空間形體與平面圖形之間的對應關係，所以，學習時必須經常注意空間幾何關係的分析以及空間幾何元素與平面圖形的聯繫。對於每一個概念、每一個原理、每一條規律、每一種方法都要弄清楚它們的意義和空間關係，以便掌握這些基本內容並善於運用它們。
3、複習時不能單純閱讀課本，必須同時用直尺和圓規在紙上進行作圖。還可以藉助鐵絲、硬紙板等物品做一些簡單的模型，幫助理解書上所講的內容和習題。書上的例題在通過自己的作圖並獲得正確的結果後，才能驗證是否真正理解並記住這些作圖方法。
4、解題時，首先要弄清哪些是已知條件，哪些是需要求作的。然後利用已學過的內容進行空間分析，研究怎樣從已知條件獲得所要求作的結果，要通過哪些步驟才能達到最後的結果。初學時可以把這些步驟記錄下來。最後利用基本作圖方法按照所確定的解題步驟一步步地進行作圖，作圖時力求準確。完成後還應做一次全面的檢查，看作圖過程有沒有錯誤，作圖是否精確等。
學習要求
由於畫法幾何所研究的是空間形體與它在平面上的圖形之間的關係，因而在培養和發展學生對三維形狀和相關位置的空間邏輯思維和形象思維能力方面起著極其重要的作用。在這裡，圖形是直接用來研究空間形體的幾何形狀和解決空間幾何問題的工具，因此，對畫法幾何在平面上的圖形有一系列的要求。主要有：
1、圖形應當具有可逆性，也就是說，根據圖形能夠準確地恢復所畫形體的形狀和大小
2、圖形在滿足其功能的前提下具有一定的直觀性，以便根據圖形能比較容易地想像出所畫的形體的形狀和大小
3、繪製圖形應較為簡便
4、圖形以及由之進行的作圖應足夠準確
上述對圖形的要求，有時可能有矛盾，這就應根據圖形所要滿足的條件來確定採用哪種圖示方法
