簡介
多晶體的性質不僅由晶粒內部結構和它們的缺陷所決定，而且還與晶界結構、所占比例等因素有關。圖6-18表示多晶體中晶粒尺寸與晶界所占體積分數的關係。顯然當晶粒很小時，晶界的影響不可忽視。
如同表面結構，
界面的空間表示 構成晶界的兩個相鄰晶粒的相對取向對晶界結構有重要的影響。如何確定兩個晶粒的相對取向，首先考慮一個坐標系中原來位向一致的兩個晶粒，沿著坐標系中的某一旋轉軸u互相旋轉一個角度θ的情況。在一個三維坐標系中，u軸取向的確定需要2個變數，即u軸的3個方向餘弦中的任意2個，這樣u軸的2個方向餘弦和θ共同決定了兩晶粒的相對取向，即共需3個自由度。對於位向不一致的兩個晶粒，晶界相對其中一個晶粒的位向可用該晶界面的法線n來描述，這樣n在坐標系中的方向確定又需要2個自由度。因此，從幾何上描述一個晶界的空間方位最多需要5個自由度。
小角晶界及界面能
根據相鄰晶粒取向角的大小，可將晶界分為小角晶界和大角晶界。當兩晶粒取向的位向差小於10°時稱小角晶界，超過10°歸於大角晶界。小角晶界一般又分為傾轉晶界和扭轉晶界，前者由一系列刃位錯組成，後者由螺位錯組成。
（1）對稱傾轉晶界
對稱傾轉晶界可以看作是取向一致的兩個晶體相互旋轉 角形成的界面，如圖6-20 (a)。它可用一系列平行的刃位錯來描述，如圖6-21所示。圖中n = [100]，u = [001]，還有一個變數 。前章已介紹，位錯間距D與柏氏矢量b的關係為：
（6-36）
當 很小時，sin（ /2）≈ /2，於是：
D = b/ （6-37） 由上式可看出， 較大時D就會變得很小，致使位錯中心發生重疊，因此該模型不適於描述大角晶界。
（2）不對稱傾轉晶界
如果傾轉晶界的界面是任意的(h k 0)面，這種非對稱的晶界就需要用柏氏矢量分別為[100]及[010]的兩組平行的刃位錯來表示。設(h k 0)面和[100]方向的夾角為 (圖6-22)，則沿AC單位距離內兩種位錯的數目分別為： （6-38） （6-39）
於是兩組位錯的間距分別為：
（6-40）
（6-41）
（3）扭轉晶界
如果旋轉軸垂直於晶界平面，即u∥n，就形成扭轉晶界，圖6-23所示是以[001]方向為旋轉軸的扭轉晶界位錯模型。由圖看出，晶界兩側的原子位置一部分是重合的，另一部分是不重合的，不重合的部分形成了螺位錯。整個扭轉晶界就是由兩組交叉的螺位錯構成的格線，一組是平行於[100]軸向，另一組平行於[010]方向，格線的間距D也滿足：
D=b∕ （6-42）
純的傾轉晶界和扭轉晶界是晶界模型的兩種特殊形式。對一般的晶界，旋轉軸和晶界可以有任意的取向關係，需要用5個自由度才能將晶界完全確定，描述將更為複雜。 （4）小角晶界晶界能
按照小角晶界結構的位錯模型，相應的界面能應是晶界上所有位錯的總能量。對簡單傾轉晶界，界面能是一系列同號位錯產生的位錯應變能。我們已經知道單位長度的刃位錯能量可表達為：
（6-43）
式中：G為剪下模量，b為柏氏矢量，ν為泊松比，Ec為位錯中心能量，D為位錯間距。設同號刃位錯之間不存在在滑移矢量方向上的互動作用，每個位錯上方存在壓應力，下方存在拉應力，即晶界存在交替的壓縮和拉伸區域，在半徑為D的圓周以外，位錯的應力場彼此抵消，亦即上式中取位錯應力場的極限距離為D，對應單位長度上晶界的位錯密度為1/D（ = /b），則晶界單位面積界面能γgb與相應位錯能量的關係為：
（6-44）
或寫成 （6-45）
式中： ； 。以γgb/ —ln 作圖，直線的斜率即為－γ0，截距為γ0A。然後再以γgb－ 作圖，得到的曲線具有 以下幾個特點：
① 當 = 0， ln →0，代人式(6-44)得到γgb= 0。
② 斜率dγgb/d = γ0(A－1－ln )，若 =0，則斜率為無窮大；隨 增加斜率減小。
③ 若γgb的最大值(γgb)m對應的 為 ，則有：
dγgb/d = 0 = γ0 (A－1－ln ) = exp(A－1) (6-46)代入式(6-45)得到 (6-47) 上式表達了界面能與取向角之間的理論關係。研究表明，所得理論曲線與實驗測定吻合的較好。以Cu為例的研究結果示於圖6-24，圖中也示出了其它晶界模型的取值情況。由圖看出，對小角晶界模型，上述關係只能在10°以內符合，超出10°後計算值（虛線）與實驗值(實線)不再符合。
以上公式對扭轉晶界也適用，但與位錯能相關的係數 和A值會不同。
大角晶界及界面能
（1）大角晶界
早期的大角晶界模型是皂泡模型，認為晶界由大約3～4個原子間距厚的區域組成，晶界層內原子排列較差，具有比較鬆散的結構，原子間的鍵被打斷或被嚴重扭曲，具有較高的界面能量。此外早期也曾提出另兩種模型：一是過冷液體模型，認為晶界層中的原子排列接近於過冷液體或非晶態物質，在應力的作用下可引起粘性流動，但發現只有認為晶界層很薄(不超過兩三個原子厚度)時才符合實驗結果；第二個模型是小島模型，認為晶界中存在著原子排列匹配良好的島嶼，散布在排列匹配不好的區域中，這些島嶼的直徑約數個原子間距，用小島模型同樣也能解釋晶界滑動的現象。
理論上，大角晶界可以分為特殊大角晶界和任意大角晶界兩類。特殊大角晶界的能量比任意大角晶界低，亦即當在某些特殊取向角下，晶界上相鄰的點陣匹配的較好，此時晶界表現出較低的能態。
最簡單的特殊大角晶界是共格晶界。如果界面上的原子正好位於兩晶體的晶格結點上，就形成了共格晶界；當兩個晶粒的取向互為對稱時，就形成了共格孿晶界，如圖6-25(a)所示。對於孿晶界，如果不是精確地平行於孿晶面，如圖6-25(b)所示，界面上的原子將不能和它鄰接的兩個晶粒很好地匹配，這種界面稱為非共格孿晶界。
（2）界面能
大角晶界具有較高的能量，並且基本上不隨位向差而改變，見圖6-24。關於大角晶界的晶界能 ，研究表明一般實驗測得值大約為表面能 的1/3。
①任意大角晶界能
實驗上晶界能 一般採用圖6-26所示的熱蝕法測定，即在高溫下長時加熱，使之達到平衡狀態，然後測定二面角，從下式平衡關係：
γgb-2γcos（θ/2）= 0 (6-48)得到 。如同表面能一樣，γgb的大小也是與結合鍵的削弱有關，同樣可與升華熱建立聯繫，也具有負的溫度係數，即隨溫度的升高γgb是降低的。
②特殊大角晶界能
共格孿晶界：共格孿晶界是一種具有孿晶關係的兩個晶體間的對稱傾轉晶界。由於共格孿晶界的原子基本上處於無畸變的狀態，所以相對於任意大角晶界來說，共格孿晶界的能量非常低。圖6-24中示出Cu的共格孿晶界能僅為21mJ/m2。
非共格孿晶界：由於界面上的原子不能很好地和它相鄰的兩個晶粒匹配，會導致界面能升高。表6-8列出一些晶體晶界能的實驗測量值，其中Cu的非共格孿晶界能為498mJ/m2。此外，孿晶界面能對於晶界面的取向非常敏感，若作 與晶界取向的函式關係，在共格孿晶界位置會出現一個尖銳的極小值點（圖6-27）。
共格界面理論
在共格界面理論中，主要分為共格界面、半共格界面和非共格界面三種類型。 （1）共格界面 界面質點同時處於兩點陣的結點上，將構成共格界面，其界面模型如圖6-28所示。實際上，晶體結構內部的質點都有最適宜的近鄰排列而處於低能狀態。但在界面上，每個質點需同時與兩側晶體表面質點進行鍵合，其中點陣位置的不一致性會增加界面原子的能量，產生界面能中的化學分量(γ化學)，其大小與點陣位置不一致的程度有關。對於共格界面，這是唯一的附加能量γ共格 = γ化學。當界面上的原子間距差別不大，界面上點陣是能夠通過一定的畸變保持共格的，如圖6-29所示。相應引起的點陣扭曲 ，稱為共格畸變或共格應變。一個典型的例子是氫氧化鎂加熱分解成氧化鎂Mg(OH)2 －→MgO+H2O，就易形成這樣的界面(圖6-30)。 （2）半共格界面 對於半共格界面，需要引進點陣失配度的概念。點陣失配度δ定義為： (6-49)式中：a 和aβ分別是α和β相無應力狀態的點陣常數。研究已表明，界面上的附加能量是與δ2成正比，相應二者的關係示於圖6-31。當δ較小（<0.05）時，能形成共格界面。對於較大的原子失配度(0.05≤δ≤0.25)，從能量角度而言，以半共格界面代替共格界面有時能量會更低。在半共格界面上，它們的不匹配可由刃位錯周期地調整補償（圖6-32）。對於上部的晶體，每單位長度需要附加的半晶面數 ，即位錯間距： （6-50） 對於小的δ，可以近似地寫成： (6-51)式中：b是柏氏矢量，b=（a + a ）/2。對於半共格界面模型，可以認為在界面上除了位錯心附近外，其他位置幾乎完全匹配，在位錯心附近的結構是嚴重扭曲並且點陣面是不連續的。實際上，失配通常是二維的，在這種情況下，若界面包含兩組不平行的間距分別為 和 的位錯列，如圖6-33所示，則共格應變場可能被完全鬆弛。 半共格界面的界面能可以近似地認為由兩部分組成：一項是共格界面的化學項γ化學，另一項是結構項γ結構，它是由失配位錯產生的結構扭曲而引起的額外能量，於是： γ半共格 = γ化學+γ結構 (6-52) 根據布魯克(Brooks)的理論，晶格畸變能W可用下式表示： （6-53）式中：δ為失配度， 是柏氏矢量，G是剪下模量， 是泊松比， , r0是與位錯線有關的一個長度。根據(6-53)式計算的晶界能與δ的關係如圖6-31中的虛線所示。由圖可見，當形成共格晶界所產生的δ增加到一定程度(a與b的交點)，再繼續共格連線，所產生的彈性應變能將大於引入位錯的能量增加，這時以半共格相連在能量上會更低。（3）非共格界面 當點陣失配度較大，如δ = 0.25，則每隔4個面間距就有一個位錯，從而導致位錯心周圍失配的區域重疊。因此，結構上相差很大時就不可能形成共格晶界或半共格晶界，而相鄰晶體間必有畸變的原子排列，這樣的間界就是非共格晶界。一般的說，兩種任意取向的晶體沿任意面結合時就可能得到非共格界面，如圖6-34所示。 非共格界面的結構描述將更為複雜，但它們和大角晶界結構仍有許多共同的特徵，例如，它們的能量都很高(大約在500-1000mJ/m2)，界面能對界面取向都不敏感等。
晶界結構模型
（1）重合位置點陣(CSL)模型 重位點陣又稱相符點陣，如圖6-35所示。圖中假定在面心立方晶體中兩相鄰的平行晶面繞[111]軸相對旋轉21.8°，網A和網B在(111)面上的原子排列分別以小空心圓和小實心圓表示，相對旋轉後位於兩個網上的重合位以大空心圓表示，可以看到，這些重合位也構成了一個相似於網A或網B的六角形網，但原子間距變大。通過直接查數已確定出重合位的數量是網A或網B的1/7，該值稱為重合位密度，其倒數稱為倒易密度，用希臘字母Σ表示。 重位點陣可以用4個基本參數來描述，即旋轉軸[hkl]；繞軸的旋轉角θ；重位網上的一個重合點在（hkl）面上的坐標(x，y)；倒易密度Σ（最小奇數）。這4個參數並不是完全獨立的，存在下列的關係： (6-54) (6-55) (6-56) 現舉例說明上述關係式的套用。考慮一個簡單立方點陣繞[100] 軸旋轉的情況，如圖6-36所示。圖中為(100)平面，x和y軸分別為[010]和[001]，軸單位是簡單立方晶胞的邊長。點陣繞[100]旋轉一角度 後，x、y軸分別占據x′、y′軸位置。因為旋轉軸是[100]，得N =1。若取x = 2，y = l就可以得到 = 2arctan(1/2) = 53.1°， =22+12(1) = 5的一個重位點陣。在圖6-36中，x、y坐標下的原子是實心圓，x′、y′坐標對應的原子是空心圓，重位是大空心圓。由此看出重位點陣的晶胞在(100)面上的邊長為 ，a是原點陣的點陣常數。 如果取x=3，y=1，旋轉軸仍是[100]，就會得到另一個重位點陣，如圖6-37所示。此時 = 2arctan(1/3) = 36.9°，Σ=32+12(1)=10，在立方點陣中Σ只能取奇數，因此Σ的正確值是10÷2 = 5。這一點陣與x = 2，y = 1的重位點陣是相同的。由此可看出，同一點陣可以通過旋轉53.1°或36.9°得到，二角之和為90°。這一結果與立方晶系[100]軸的四次對稱有關。
傾轉界面也可用重位的概念去描述。一個傾轉晶界可以通過一個晶體的兩部分相對旋轉53.1°，再把它們接合起來而形成，如圖6-38所示。圖中A部分的原子以小空心圓表示，B部分的原子以小實心圓表示，重合位以大空心圓表示。因為晶體B與晶體A只在界面區域相連，所以實際存在的重合位是界面上的大空心圓。由圖可看到，晶界對於晶體A和B而言都是一系列的台階，台階之間的距離，即重合點間的距離p = ，這一距離叫做結構周期，結構周期p也等於重位點陣晶胞的一個邊長。如前所述，一個具有相同 (如等於5)的重位點陣也可由繞[100]軸扭轉36.9°而得到，這相當於x=3，y=1，其傾轉晶界如圖6-39所示。要注意到，此時結構周期p等於重位點陣晶胞的對角線長。與圖6-38比較，得出36.9°和53.1°旋轉產生的傾轉晶界具有不同的結構周期。
要指出的是，如果晶界是由兩晶粒間重位點陣(CSL)的密排或較密排面構成，則兩晶粒在晶界處的原子會有較好的匹配，晶界能就較低，並且晶界長程應變場的作用範圍和晶界結構周期相近。這樣，晶界的彈性應變能將隨Σ減小或隨結構周期縮短而降低。一個具有相對低Σ的界面，往往具有低的界面能和高的遷移性。
還應指出，重位點陣模型只適用於相同點陣類型的兩塊晶體之間的界面，並且也只有當繞某軸轉動某些特定的角度，才能出現重位點陣，這是其模型套用的限制。
（2）O點陣模型
任取兩個點陣Ll和L2，互相貫穿形成複合貫穿點陣。在考察複合貫穿點陣每個陣點位置的周圍環境時，發現有些陣點位置有規律且周期性地分布在整個貫穿點陣中，這些環境相同的等效點就稱為O點。由這些O點組成的點陣，稱為O點陣。實際上，O點陣概念是CSL概念的一般化推廣。CSL著眼於複合貫穿後在哪些陣點上相重合，而O點陣則著眼於點陣上哪些位置有相同的原子配位環境。圖6-40是兩個簡單立方點陣形成的O點陣，實線所連正方格線為O點陣。
O點陣概念的優點是O點的集合是作連續的運動，而CSL則是突然地出現或消失，甚至當重位點陣不存在時，O點陣仍存在。O點陣套用的一個特點是，它適用於兩個不完全一樣的晶體界面。
（3）DSC點陣
DSC（Displacement Shift Complete Lattice）點陣稱為完整花樣移動點陣。它是將2個貫穿點陣所有實際陣點連線起來的一種最大的公共點陣。 DSC點陣除了包括兩點陣的實際陣點外，還包括不屬於兩個實際點陣的“虛點陣”的陣點。圖6-41中(b)是在(a)的基礎上建立起來的DSC點陣，它的基矢是圖中表示的b1和b2。從圖中看出，重位點陣是DSC點陣的超點陣。DSC模型的一個重要性質是，當兩個實際晶體點陣相對平移任何1個DSC基矢時，界面上原子排列構形不改變，只是構形的原點移動了。另外，在立方系晶體點陣中，DSC點陣與CSL互為倒易，即界面上原子錯配程度增大時，相應CSL尺寸增大，而DSC點陣尺寸減小。
界面能是與界面陣點的幾何構形有關。界面的幾何構形往往傾向於形成具有低能量的排列形式，低能界面應該具有短的周期性，例如CSL(或O點陣)界面關於密排或較密排面的要求。如果偏離了這種低能排列形式，界面能就會提高。DSC點陣正是考慮在界面引進“次位錯”以保持具有低能界面的幾何構形，這些次位錯的柏氏矢量就是DSC點陣矢量。例如立方點陣[001]向轉動53.1°的對稱重位傾轉晶界（圖6-42a），晶界結構是…222…，如果兩晶粒取向差偏離3.1°，即取向差為50.0°時，為了使界面保持低能的構形，在界面上會引入次位錯，這時晶界結構變為…22322…，其中兩個次位錯出現在長階處，次位錯的柏氏矢量是DSC點陣矢量(圖6-42b)。由此看出，DSC點陣對討論晶界台階和晶界位錯比較方便。
（4）結構單元模型
結構單元模型概念的提出是基於任一長周期界面可分解為短周期界面的應變單元。採用原子模擬方法研究對稱和非對稱的傾轉晶界已得出：在一定取向差範圍內的所有界面都可由兩種結構單元重複組成。
晶界上的周期性越長，界面兩側匹配程度將越差，同時晶界能越高。因而任何長周期結構的晶界會傾向於分解成具有一定應變的短周期結構。圖6-43示出了面心立方3種以[001]為旋轉軸的對稱傾轉晶界中的結構單元，圖(a)是兩個面心立方點陣貫穿產生Σ=5的幾何結構，空圓圈及三角形分別表示兩個貫穿的點陣，虛線是(210)面。圖中由黑線勾劃的梯形經鬆弛畸變後變為如圖(b)的四邊形的結構單元，每個單元以B表示，顯然圖(b)的晶界面是(210)面，晶界結構為…BBBB…。圖(c)是Σ=17的對稱傾轉晶界的鬆弛結構，平行於(530)面的界面由兩種鬆弛畸變結構單元組成，一種結構單元和圖(b)的一樣(標以B)，另一種結構單元是完整晶體(Σ=1)平行於(110)面的結構單元，如圖(e)標記為A的結構單元（圖中虛線平行於(110)面）。B結構單元兩側晶粒的取向是Σ=5的對稱傾轉的取向，而結構單元A兩側的取向差為0，綜合兩種結構單元的結晶結構為…ABBABB…，這樣排列的結構單元構成 =17的對稱傾轉晶界。圖(d)是Σ=37的對稱傾轉晶界的鬆弛結構，平行於(750)的晶界也由A和B兩種鬆弛畸變的結構單元構成，晶界結構為…AABABAABAB…。對於非對稱傾轉晶界和扭轉晶界，同樣可用結構單元描述，不過扭轉晶界情況要複雜得多。結構單元模型的局限性是它僅對低指數軸(例如[100]、[110]、[111]， [112])的純傾轉及扭轉晶界描述較有效。從理論上講，結構單元模型原則上也可以用於高指數旋轉軸的晶界，但實際上它需要的結構單元類型數目很多，以致失去結構描寫的意義。
（5）多面體單元模型
多面體單元模型是在對稱及非對稱傾轉晶界上尋找多面體群體的堆積，例如，面心立方結構以[110]為軸的傾轉晶界中，多面體是四面體、八面體、三稜柱體、加頂三稜柱體、阿基米德方形反稜柱體、加頂阿基米德方形反稜柱體和五角雙稜柱體等7種，且晶界上多面體是密排堆積的。在以[100]、[111]及[112]為軸的對稱傾轉晶界中，也存在這些多面體，但並不是密堆積。圖6-44是以面心立方結構的[100]為軸轉動36.9°( =5)的對稱傾轉晶界上三稜柱體的堆積。
由於晶界連線兩個晶體要求的相容性並不能完全由多面體堆積來滿足，因此晶界結構不可能完全由多面體組成，即使對低能晶界，仍會存在與多面體結構不同的原子排列。這些位置可能是雜質原子易偏析的位置，於是也可以套用這一模型對晶界偏析作定量分析，另外，多面體堆積位置可看作是晶界匹配良好的區域，而其它是晶界匹配不好的區域。
應該指出，以上所介紹的幾種晶界的結構模型對解釋一些特殊大角度晶界是有效的，但套用到那些與特殊大角度晶界偏離較大或任意大角度晶界時仍會有一定的局限性。另外，本節所述的模型都忽略了界面的帶電性，而實際上晶界的帶電是重要的結構影響因素。
