生長曲線
技術和經濟的發展過程類似於生物的發展過程，經歷發生、發展、成熟三個階段，而每一階段的發展速度是不一樣的。一般的，在發生階段，變化速度較為緩慢；在發展階段，變化速度加快；到成熟階段，變化速度又趨緩慢。按照這三個階段發展規律得到的事物變化發展曲線，通常稱為生長曲線或增長曲線，亦稱邏輯增長曲線。由於此類曲線常似“S"型，故又稱為S曲線。現在S曲線已廣泛用於描述及預測生物個體生長發育及某些技術、經濟特性的發展領域中。
生長曲線函式是描述生長曲線的數學表達式。隨預測對象的性質不同，生長曲線有很多數學模型，其中套用較廣泛的有皮爾（R.Pearl）模型、林德諾（L.Ridenour）模型和龔帕茲（B.Gompertz）模型三種。
生長曲線函式模型
生長曲線函式模型，也被稱為 Logistic 函式模型，或生長（S）曲線法，簡稱生長曲線模型，在現代商業、生產行業、生物科學等方面有著非常廣泛的套用。生長曲線模型可以表達為：
生長曲線函式其中，x 為自變數，y 為因變數；k 、a 、b 是未知數（k，a>0，b≠ 1）。
生長曲線模型整體呈現“S”型，可以分為初期、中期和末期三個階段：
（1）在初期，雖然 x 處於增長階段，但是 y 的增長較為緩慢，這時曲線呈現較為平緩的上升；
（2）在中期，隨著 x 的增長，y 的增長速度逐漸增快，曲線呈現快速上升的態勢；
（3）當達到拐點(X*，Y*)後，因函式飽和程度的增長達到末期，隨著 x 的增長 y 的增長較為緩慢，增長速度趨近於0，曲線呈水平狀發展 。
皮爾模型
圖1 皮爾生長曲線皮爾曲線是1938年比利時數學家哈爾斯特(P．F verhulst)首先提出的 一種特殊曲線。後來，近代生物學家皮爾(R．Pearl)和L·J·Reed兩人把此曲線套用於研究人口生長規律。所以這種特殊的曲線稱之為皮爾增長曲線，簡稱皮爾曲線。當經濟變數的發展變化表現為初期增長速度緩慢，隨後增長速度逐漸加快，達到一定程度後又逐漸減慢，最後達到飽和狀態的趨勢，即原時間序列倒數的一階差分的環比為一個常數，可以用皮爾曲線來描述。因此，皮爾曲線的預測法是根據預測對象具有皮爾曲線變動趨勢的歷史數據，擬合成一條皮爾曲線，通過建立皮爾曲線模型進行預測的方法。
皮爾生長曲線的一般模型為：
生長曲線函式
生長曲線函式式中，K為常數， 。常用的皮爾生長曲線模型為（式1）：
生長曲線函式這時，f(x)是x的線型函式，且具有負斜率，如圖1所示。
其中，a、b、K為皮爾模型的參數，估算這三個參數的方法有兩類：一類是先估算出a和K，然後推算b值，如Fisher法；另一類是同時估算出參數a、b、K，如倒數總和法。
林德諾模型
林德諾生長曲線模型常用於新技術發展和新產品銷售的預測，其數學模型的一般形式為（式2）：
生長曲線函式
生長曲線函式
生長曲線函式其中，N(t)為t時熟悉新產品的人數； 為 時熟悉新產品的人數；b為校正係數；L為N(t)的極限值。
林德諾模型是基於下述假設條件建立的：新產品的推廣或熟悉新產品的人數的增長率與已熟悉新產品的人數和未熟悉新產品的人數的乘積成正比，即滿足微分方程：
生長曲線函式
生長曲線函式上式在區間 上的積分得式2。由於N(t)與式1中y的表達式實際上相同，故參數的確定方法與皮爾模型類似。
龔帕茲模型
圖2
生長曲線函式龔帕茲 (生長 )曲線是一種常用曲線，其形式為 ：
對參數 a、b、K 的不同取值，龔帕茲模型有不同的形狀和變化趨勢，如圖2所示。
生長曲線函式（1）圖 2-(a) 為 時的龔帕茲曲線；
生長曲線函式（2）圖 2-(b) 為 時的龔帕茲曲線；
生長曲線函式（3）圖 2-(c) 為 時的龔帕茲曲線；
生長曲線函式（4）圖 2-(d)為 時的龔帕茲曲線。
生長曲線函式給定時間序列 ，只要求得其中的三個參數值 a、b、K，就可以用來求得未來周期的預測值。
求參數 a、b、K 的方法有多種，如非線性回歸分析、特殊函式的最小二乘法等。
