基本介紹
無環條件
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無環條件無環條件(no cycle condition)是 穩定性的基本條件之一，描述了動力系統的不變集之間的關係。設M是緊緻流形， 是同胚， 是兩兩不相交的 的閉不變集。在這些集合間定義如下所述的一種關係“ ”：
無環條件這裡
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無環條件和 分別稱為 的穩定集和 的不穩定集。如果存在兩兩不相同的 使得
無環條件
無環條件 無環條件 無環條件 無環條件 無環條件 無環條件 無環條件
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無環條件 無環條件
無環條件 無環條件則稱 形成了一個環。如果在 中不存在任何環，則稱關係“ ”是無環的。對M上的連續流 而言，其無環性可如下說明：如果 是兩兩不相交的 的閉不變集，在這些集合間定義如下所述的一種關係“ ”∶ ⇔對某 有 。於是，如上可定義關係“ ”的無環性。通常所說公理A系統滿足 無環條件或具有 無環性質是指： 的譜分解的基本集關於關係“ ”是無環的，即基本集滿足無環條件。在Ω穩定性研究中，無環條件的提出是以Ω爆炸為其背景的。已經證明：滿足公理A和無環條件的系統是Ω穩定和拓撲Ω穩定的，並且Ω穩定蘊涵滿足公理A和無環條件 。
相關概念
基本集
無環條件
無環條件 無環條件 無環條件
無環條件基本集(basic set)是動力系統研究的重要不變集之一，它是根據公理 系統譜分解的基本集所具有的動力學性質而抽象出來的概念。設 是微分流形， 是微分同胚，如果 的一個閉不變集 滿足;
無環條件1. 是雙曲的；
無環條件2. 周期點在 中稠密；
無環條件 無環條件3. 在 上是拓撲傳遞的；
無環條件4. 存在開集 使得
無環條件 無環條件
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無環條件 無環條件 無環條件則稱 是基本集，對M上的可微流 設 是 的閉不變集，如果 是一個雙曲奇點，或者 滿足：
無環條件1. 是雙曲的且不含奇點；
無環條件 無環條件2. 中周期軌道上的點在 中稠密；
無環條件 無環條件3. 在 上是拓撲傳遞的；
無環條件4. 存在開集 使得
無環條件 無環條件則稱 是基本集，在動力系統的研究中，對基本集的理解一般認為它不是單獨的一個雙曲不動點(雙曲奇點)。基本集的作用在於它在很大程度上確定了系統的軌道結構 。
Ω穩定性
無環條件拓撲Ω穩定性(topological Ω-stability)亦稱Ω半穩定性，通常是用來描述系統在小擾動下非遊蕩集的穩定性質的.
圖1 無環條件
無環條件
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無環條件設M是緊緻度量空間，是同胚，如果對任意存在使對任一同胚，只要就存在連續滿射(其中表示( ·)的非遊蕩集)，滿足：
無環條件1.，即上圖可交換；
無環條件2.；
無環條件 無環條件則稱是拓撲穩定的。
無環條件 無環條件
無環條件
無環條件
無環條件對M上的連續流而言，其定義如下：設φ是M上的連續流，如果對任意存在使得對M上任一連續流ψ，只要對任意有就存在連續滿射滿足：
無環條件
無環條件1.對任h將ψ過x的軌道映到φ過的軌道上；
無環條件2.
無環條件 無環條件則稱φ是拓撲穩定的。公理A和無環條件蘊涵著拓撲穩定性 。
