測量平差[10]

測量平差是德國數學家高斯於1821～1823年在漢諾瓦弧度測量的三角網平差中首次套用，以後經過許多科學家的不斷完善，得到發展，測量平差已成為測繪學中很重要的、內容豐富的基礎理論與數據處理技術之一。測量平差法本質上相當於對測量中的隨機誤差進行了有效的減弱（ 採集數據量越大， 減弱效果越好， 直到幾乎消除）， 對測量中不等權的非確定性系統誤差（ 即大小水平不一致的非確定性系統誤差）進行了合理的分配，但對於測量中等權的非確定性系統誤差（即大小水平一致的非確定性系統誤差）沒有起到消除或減弱作用。

測量步驟

（1）觀測數據檢核，起始數據正確性的處理

（2）列出誤差方程式或條件方程式，按最小二乘法原理進行平差

（3）平差結果的質量評定。按觀測量相互間的關係，可分為相關的或不相關的平差。平差的方法有直接平差、間接平差、條件平差、附有條件的間接平差和附有未知數的條件平差等。

相關研究

誤差理論與測量平差

測量誤差理論主要表現在對模型誤差的研究上，主要包括：平差中函式模型誤差

、隨機模型誤差的鑑別或診斷；模型誤差對參數估計的影響，對參數和殘差統計性質的影響；病態方程與控制網及其觀測方案設計的關係。由於變形監測網參考點穩定性檢驗的需要，導致了自由網平差和擬穩平差的出現和發展。觀測值粗差的研究促進了控制網可靠性理論，以及變形監測網變形和觀測值粗差的可區分性理論的研究和發展。針對觀測值存在粗差的客觀實際，出現了穩健估計(或稱抗差估計)；針對法方程係數陣存在病態的可能，發展了有偏估計。與最小二乘估計相區別，穩健估計和有偏估計稱為非最小二乘估計。

平差套用

計量套用

測量平差是德國數學家高斯於1821～1823年在漢諾瓦弧度測量的三角網平差中首次套用，以後經過許多科學家的不斷完善，得到發展，測量平差已成為測繪學中很重要的、內容豐富的基礎理論與數據處理技術之一。計量科學與測繪科學都是以物理學、數學及近代計算機科學為基礎的學科，本質上兩者是相容、一致的。在計量學中，對測量不確定度給出的綜合的不確定性評價，此評價不但考慮了觀測時各種誤差因素的聯合影響，包括觀測時隨機效應的影響，一些系統效應的影響， 也考慮了測量時其他因素的影響，文章主要針對這一問題進行探討，旨在通過對“測量平差理論在計量中的套用”的本質內涵的深入探討，期望這一問題得到緩解或解決，最終的目的是便於測繪儀器校準工作的開展。

測量界限

由於測量儀器的精度不完善和人為因素及外界條件的影響，測量誤差總是不可避免的。為了提高成果的質量，處理好這些測量中存在的誤差問題，觀測值的個數往往要多於確定未知量所必須觀測的個數，也就是要進行多餘觀測。有了多餘觀測，勢必在觀測結果之間產生矛盾，測量平差的目的就在於消除這些矛盾而求得觀測量的最可靠結果並評定測量成果的精度。測量平差採用的原理就是“最小二乘法”。

考慮函式是待定常數，如果在一直線上，可以認為變數之間的關係，但一般說來，這些點不可能在同一直線上。記，它反映了用直線來描述時，計算值與實際值產生的偏差。當然要求偏差越小越好，但由於可正可負，因此不能認為總偏差時，函式就很好地反映了變數之間的關係，因為此時每個偏差的絕對值可能很大。為了改進這一缺陷，就考慮用來代替，但是由於絕對值不易作解析運算，因此，進一步用來度量總偏差。因偏差的平方和最小可以保證每個偏差都不會很大。於是問題歸結為確定中的常數和使為最小，用這種確定係數的方法稱為最小二乘法。

測量精準

其精確定義可以從一組測定的數據中尋求變數之間的依賴關係,這種函式關係稱為經驗公式。最小二乘法如何尋之間近似成線性關係時的經驗公式，假定實驗測得變數之間個數 , ,…, ,則平面上,可以得個 ,這種圖形稱為“散點圖”,從圖中可以粗略看出這些點大致散落在某直線近旁，我們認之間近似為一線性函式,下面介紹求解步驟，考慮函 ,其是待定常數.如在一直線上,可以認為變數之間的關係 。但一般說來,這些點不可能在同一直線上. ,它反映了用直來描 ,時,計算與實際產生的偏差。當然要求偏差越小越好,但由可正可負,因此不能認為總偏時,函就很好地反映了變數之間的關係,因為此時每個偏差的絕對值可能很大。為了改進這一缺陷,就考慮來代替。但是由於絕對值不易作解析運算,因此,進一步來度量總偏差。因偏差的平方和最小可以保證每個偏差都不會很大，於是問題歸結為確中的常 ,為最小，用這種方法確定系 ,的方法稱為最小二乘法。最小二乘法是一種數學最佳化技術，它通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函式匹配，是用最簡的方法求得一些絕對不可知的真值。

測量標準

測繪中廣泛使用的測量平差法，是基於最小二乘原理的測量數據處理方法，它是利用直接測量採集觀測數據（觀測向量），再利用此觀測數據（ 觀測向量）結合平差數學模型，對被測量結果進行估計的過程，估計方法採用“數理統計學” 中著名的“ 最小二乘法”。平差處理結果包括被測量的測量結果和表征此測量結果不確定性的標準差（中誤差）。測量平差法本質上相當於對測量中的隨機誤差進行了有效的減弱（ 採集數據量越大， 減弱效果越好， 直到幾乎消除）， 對測量中不等權的非確定性系統誤差（ 即大小水平不一致的非確定性系統誤差）進行了合理的分配，但對於測量中等權的非確定性系統誤差（即大小水平一致的非確定性系統誤差）沒有起到消除或減弱作用。所以，平差後所得的測量結果標準差（ 中誤差），只是表征了隨機效應導致的測量不確定性（ 度），是測量不確定度的隨機分量，為了完全表征測量結果不確定性（ 度）， 還需要考慮系統效應導致的不確定性（ 度） 並加以合成。

測量平差法雖然包括了一定的現場測量條件，但其測量結果（平差結果）只是測得值所處範圍的一個參數（隨機誤差）。在計量學中，測量的目的是為了確定被測量的量值。測量不確定度就是對測量結果質量的定量表征，測量結果表述必須同時包含賦予被測量的值及與該值相關的測量不確定度，才是完整並有意義的。用測量不確定度表征測量結果不確定性，既要考慮測量結果的系統誤差效應，又考慮了測量結果的隨機誤差效應，嚴格說還考慮了測量結果的模糊效應，所以測量不確定度具有嚴密的科學性與嚴謹性，是測量結果不確定性的精確描述。隨機誤差（平差結果）是由於測量時的隨機因素或效應所引起的相對於被測量真值的偏差，這種隨機因素或效應，將導致重複測量時測量結果值的分散性。這說明，隨機誤差具有隨機不確定性，這種不確定性的具體特徵就是值的分散性，隨機誤差應屬於隨機不確定性量，其數學期望（均值）為零。

測量結果=被測量真值+系統誤差+隨機誤差

=被測量真值+確定性系統誤差+非確定性系統誤差+隨機誤差

=確定性分量+非確定性分量

以上討論了測量平差結果在計量學測量結果不確定度評定中，只是不確定度分量之一。因為，測量結果是被測量真值、系統誤差、隨機誤差（中誤差）這三個量的合成，故其不確定性應由這三個量的不確定性決定，研究測量結果不確定度應由這三個量的不確定度著手。僅考慮隨機不確定性，是不全面不客觀的。

書籍測量平差

內容簡介

內容提要

本書重點介紹了測量誤差理論、條件平差、間接平差、誤差橢圓等基本理論和方法；為了突出平差方法的具體套用，在書中最後兩章介紹了單一導線平差和高程控制網平差。考慮到平差計算時的需要，附錄中還結合條件平差和間接平差詳細介紹了MALAB軟體在測量平差中的具體套用。

目錄信息

目 錄

前言

第一章緒論…………………………………………………………………………··(1)

第一節觀測誤差………………………………………………………………………(1)

第二節觀測誤差分類…………………………………………………………………(2)

第三節測量平差的研究對象和任務…………………………………………………(4)

習題……………………………………………………………………………………(4)

第二章誤差理論與最小二乘原理………………………………………………………(6)

第一節偶然誤差的統計規律…………………………………………………………(6)

第二節衡量精度的指標……………………………………………………………(10)

第三節方差與協方差傳播律………………………………………………………(14)

第四節權與定權的常用方法………………………………………………………(24)

第五節協因數與協因數傳播律……………………………………………………(29)

第六節由真誤差計算中誤差………………………………………………………(32)

第七節最小二乘原理………………………………………………………………(35)

習題…………………………………………………………………………………(37)

第三章條件平差………………………………………………………………………(40)

第一節條件平差原理………………………………………………………………(40)

第二節確定條件方程的個數………………………………………………………(48)

第三節條件方程……………………………………………………………………(51)

第四節法方程的組成與解算………………………………………………………(56)

第五節精度評定……………………………………………………………………(64)

第六節附有參數的條件平差………………………………………………………(70)

習題…………………………………………………………………………………(75)

第四章間接平差………………………………………………………………………(79)

第一節間接平差原理………………………………………………………………(79)

第二節誤差方程……………………………………………………………………(86)

第三節法方程的組成與解算………………………………………………………(97)

第四節精度評定……………………………………………………………………(102)

第五節間接平差特例——直接平差………………………………………………(106)

第六節附有限制條件的間接平差…………………………………………………(110)

習題…………………………………………………………………………………(115)

第五章誤差橢圓……………………………………………………………………．(118)

第一節點位真誤差及點位誤差……………………………………………………(118)

第二節誤差曲線與誤差橢圓………………………………………………………(125)

第三節相對誤差橢圓………………………………………………………………(127)

習題…………………………………………………………………………………(129)

第六章單一導線平差

第一節單一附合導線條件平差

第二節單一附合導線間接平差 習題

第七章高程控制網平差

第一節概述

第二節高程控制網條件平差

第三節高程控制網間接平差

習題

附錄MATLAB套用簡介

參考文獻…………………………………………………………………………………(169)

圖書信息

書名:高等學校測繪學科教學指導委員會"十五"高職高專規劃教材--測量平差

出版社:黃河水利出版社

定價:17

條形碼:9787806219300

ISBN:ISBN 7-80621-930-7

作者:靳祥升

印刷日期:2005-8-1

出版日期:2005-8-1

精裝平裝_開本_頁數:平裝16開,149頁

中圖法:

中圖法一級分類:

中圖法二級分類:

書號:

內容提要

本書是由高等學校測繪學科教學指導委員會指導和組織編寫的，是測量工程專業高職高專層次的專業基礎課"十五"規劃通用教材。該書深入淺出地闡述了測量平差的基本原理和基本平差方法，符合高職高專教育的精神，具有高職高專的特色。全書共分為六章，主要包括：緒論，誤差理論與平差原則，條件平差，間接平差，誤差橢圓，線性方程組的解算方法等。

本書主要供測繪類專業的高職高專教學使用，也可供相關專業的工程技術人員學習參考。

前 言

本書是在高等學校測繪學科教學指導委員會的指導下，以全國高等學校測繪學科教學指導委員會"十五"高職高專規劃教材研討會上制定的《測量平差》教學大綱為主要依據，在總結多年教學經驗的基礎上編寫完成的。重點介紹了測量誤差知識、測量平差的原理和基本平差方法，並結合一定的測量實例說明了測量平差方法的套用。本教材具有如下特點：

(1)每一章的前面給出了該章的教學目的，概述了章節的重點內容，既有利於教師教學，又便於學生的學習。

(2)深入淺出，通俗易懂，強調理論聯繫實際，突出基本理論和基本概念。

(3)遵循高職高專的特點，強調實用性和套用性，在理論體系完整的前提下，捨去了較為繁瑣的推證，重點講述平差原理和方法的實際套用。

(4)增加了線性方程組常用的幾種解算方法，並用Visual Basic語言編寫了相應的解算程式，與後續課《Visual Basic測繪程式設計》更好地相銜接。

(5)每一章節後都有一定數量針對性非常強的思考題和習題，便於學生做作業，加強對章節內容的理解。

參加本書編寫的人員有：黃河水利職業技術學院靳祥升(第一章、第二章)，東南大學交通學院潘國鋒(第三章)，武漢電力職業技術學院蔣紫蕊(第四章)，平頂山工學院魏亮(第五章、第六章)。全書由靳祥升統一修改定稿。

全書完成後，由高等學校測繪學科教學指導委員會責成武漢大學測繪學院陶本藻教授進行認真細緻的審稿，提出了許多寶貴意見，修改後，通過了高等學校測繪學科教學指導委員會"十五"高職高專規劃教材審定委員會的審定，作為測繪學科高職高專院校統編教材，供高等職業教育測繪類專業使用。在此，對陶本藻教授和教材審定委員會的各位專家表示感謝!在本書編寫的過程中，楊中利老師提出許多寶貴的建議，在此表示感謝!同時對黃河水利出版社為本教材順利出版給予的大力支持表示感謝。

由於編者水平有限，不當之處在所難免，熱忱希望廣大讀者對本書中缺點錯誤給予批評指正。

編 者

2005年4月

目錄

:序 寧津生

前 言

第一章 緒 論 (1)

第一節 觀測誤差 (1)

第二節 測量平差的任務 (3)

思考題 (3)

習 題 (3)

第二章 誤差理論與平差原則 (5)

第一節 偶然誤差的統計規律 (5)

第二節 衡量精度的指標 (7)

第三節 觀測向量的精度 (10)

第四節 誤差傳播律 (10)

第五節 誤差傳播律在測量中的套用 (16)

第六節 權與定權的常用方法 (18)

第七節 由真誤差計算測角中誤差的實際套用 (26)

第八節 測量平差原則 (29)

思考題 (31)

習 題 (31)

第三章 條件平差 (35)

第一節 條件平差的原理 (35)

第二節 必要觀測與多餘觀測 (42)

第三節 條件方程 (43)

第四節 條件平差法方程式 (47)

第五節 條件平差的精度評定 (51)

第六節 條件平差舉例 (58)

思考題 (63)

習 題 (63)

第四章 間接平差 (66)

第一節 間接平差的原理 (66)

第二節 誤差方程式 (72)

第三節 間接平差的法方程 (83)

第四節 間接平差的精度評定 (86)

第五節 間接平差實例 (92)

第六節 間接平差特例--直接平差 (99)

第七節 附有條件的間接平差 (103)

思考題 (108)

習 題 (109)

第五章 誤差橢圓 (117)

第一節 點位真誤差及點位誤差 (117)

第二節 誤差曲線與誤差橢圓 (121)

第三節 相對誤差橢圓 (123)

思考題 (125)

習 題 (126)

第六章 線性方程組的解算方法 (127)

第一節 消元法 (127)

第二節 求逆法(初等變換) (137)

第三節 疊代法 (142)

思考題 (148)

習 題 (148)

參考文獻 (149)