含義
要弄明白不可預言性如何可以與確定論相調和，可以來看看一個比整個宇宙次要得多的系統——水龍頭滴下的水滴。這是一個 確定性系統，原則上流入水龍頭中的水的流量是平穩、均勻的， 水流出時發生的情況完全由流體運動定律規定。但一個簡單而有效的實驗證明，這一顯然確定性的系統可以產生不可預言的行為。 這使我們產生某種數學的“橫向思維”，它向我們解釋了為什麼此種怪事是可能的。
假如你很小心地打開水龍頭，等上幾秒鐘，待流速穩定下來， 通常會產生一系列規則的水滴，這些水滴以規則的節律、相同的時間間隔落下。很難找到比這更可預言的東西了。但假如你緩緩打開水龍頭，使水流量增大，並調節水龍頭，使一連串水滴以很不規則的方式滴落，這種滴落方式似乎是隨機的。只要做幾次實驗就會成功。實驗時均勻地轉動水龍頭，別把龍頭開大到讓水成了不間斷 的水流，你需要的是中速滴流。如果你調節得合適，就可以在好多分鐘內聽不出任何明顯的模式出現。
1978年，加利福尼亞大學聖克魯斯分校的一群年青的研究生組成了一個研究動力學系統的小組。他們開始考慮水滴系統的時候，就認識到它並不像表現出來的那樣毫無規則。他們用話筒記錄 水滴的聲音，分析每一滴水與下一滴水之間的間隔序列。他們所發 現的是短期的可預言性。要是我告訴你3個相繼水滴的滴落時刻， 你會預言下一滴水何時落下。例如，假如水滴之間最近3個間隔是 0.63秒、1.17秒和0.44秒，則你可以肯定下一滴水將在0.82秒後落下(這些數只是為了便於說明問題)。事實上，如果你精確地知道頭3滴水的滴落時刻，你就可以預言系統的全部未來。
那么，拉普拉斯為什麼錯了? 問題在於，我們永遠不能精確地 測量系統的初始狀態。我們在任何物理系統中所作出的最精確的測量，對大約10位或12位 小數來說是正確的。但拉普拉斯的陳述 只有在我們使測量達到無限精度(即無限多位 小數，當然那是辦不到的)時才正確。在拉普拉斯時代，人們就已知道這一測量誤差問題，但一般認為，只要作出初始測量， 比如 小數點後10位，所有相 繼的預言也將精確到小數點後10位。誤差既不消失，也不放大。 不幸的是，誤差確實放大，這使我們不能把一系列短期預言串在一起，得到一個長期有效的預言。例如，假設我知道精確到小數 點後10位的頭3滴水的滴落時刻，那么我可以精確到小數點後9 位預言下一滴的滴落時刻，再下一滴精確到8位，以此類推。誤差在每一步將近放大10倍，於是我對進一步的小數位喪失信心。所 以，向未來走10步，我對下一滴水的滴落時刻就一無所知了。(精確的位數可能不同：它可能使每6滴水失去1位小數的精度，但只要取60滴，同樣的問題又會出現。)
這種誤差放大是使拉普拉斯完全確定論破滅的邏輯缺陷。要完善整個測量根本做不到。假如我們能測量滴落時刻到小數點後 100位，我們的預言到將來100滴(或用較為樂觀的估計，600滴) 時將失敗。這種現象叫“對 初始條件的敏感性”，或更非正式地叫 “ 蝴蝶效應”(當 東京的一隻蝴蝶振翅時，可能導致一個月後佛羅里 達的一場 颶風)。它與行為的高度不規則性密切相關。任何真正規 則的東西，據定義都是完全可預言的。但對 初始條件的敏感性卻使 行為不可預言—從而不規則。因此，呈現對 初始條件敏感性的系統被稱為混沌系統。混沌行為滿足確定性的定律，但它又如此不規 則，以至在未受過訓練的眼睛看來顯得雜亂無章。混沌不僅僅是復 雜的、無模式的行為，它要微妙得多。混沌是貌似複雜的、貌似無模 式的行為，它實際上具有簡單的、確定性的解釋。
混沌的發現是由許多人(多得在此無法一一列舉)作出的。它的出現，是由3個相互獨立的進展匯合而成的。第一個是科學注重 點的變化，從簡單模式(如重複的循環)趨向更複雜的模式。第二個 是計算機，它使得我們能夠容易和迅速地找到動力學方程的近似 解。第三個是關於動力學的數學新觀點— 幾何觀點而非數值觀 點。第一個進展提供了動力，第二個進展提供了技術，第三個進展 則提供了認識。
動力學的 幾何化發端於大約100年前。 法國數學家昂利·龐 加萊(Henri Poincare)是一個獨立獨行的人(如果有的話)，但他非 常傑出，以致他的許多觀點幾乎一夜之間就成了正統的觀點，當時 他發明了相空間概念，這是一個虛構的數學空間，表示給定動力學 系統所有可能的運動。為了舉一個非力學的例子，讓我們來考慮獵 食 生態系統的群體動力學。此系統中捕食者是豬，被捕食者是塊菌 (一種味道奇特、辛辣的真菌)。我們關注的變數是兩個群體的規模 ——豬的數目和塊菌的數目(兩者都相對於某個參考值，如100 萬)。這一選擇實際上使得兩個變數連續，即取 帶小數位的實數值， 而不取整數值。例如，假如豬的參考數目是100萬，則17439頭豬 相當於值0.017439。現在，塊菌的自然增長依賴於有多少塊菌以及 豬吃塊菌的速率：豬的增長依賴於豬的頭數以及豬吃的塊菌數目。 於是每個變數的變化率都依賴於這兩個變數，我們可把注意力轉 向群體動力學的微分方程組。我不把 方程列出來，因為在這裡關鍵 不是方程，而是你用方程乾什麼。
這些方程原則上確定任何初始群體值將如何隨時間而變化。 例如，假使我們從17439頭豬和788444株塊菌開始，則你對豬變 量引入初始值0.017439，對塊菌變數引入初始值0.788444，方程 會含蓄地告訴你這些數將如何變化。困難的是使這種含蓄變得清 晰：求解方程。但在什麼意義上求解方程呢? 經典數學家的自然反 應是尋找一個 公式，這個公式精確地告訴我們豬頭數和塊菌株數 在任何時刻將是多少。不幸的是，此種“顯式解”太罕見，幾乎不值 得費力去尋找它們，除非方程具有很特殊的、受限制的形式。另一 個辦法是在計算機上求近似解，但那只能告訴我們這些特定韌始 值將發生什麼變化，以及我們最想知道的許多不同的初始值將發 生什麼變化。
龐加萊的思想是畫一幅圖，這幅圖顯示所有初始值所發生的 情況。系統的狀態--在某一時刻兩個群體的規模——可以表示 成平面上的點，用 坐標的方法即可表示。例如，我們可能用橫坐標 代表豬頭數，用 縱坐標代表塊菌株數。上述初始狀態對應於 橫坐標 是0.017439、 縱坐標是0.788444的點。現在讓時間流逝。坐標按 照微分方程表達的規則從一個時刻變到下一個時刻，於是對應點 運動。依動點劃出一條曲線；那條曲線是整個系統未來狀態的直觀表述。事實上，通過觀察這條曲線，不用搞清楚坐標的實際數值，你 就可以“看出”重要的動力學特徵。
例如，如果這曲線閉合成環，則兩個群體遵從周期性循環，不 斷重複同樣一些值就像跑道上的賽車每一圈都經過同一個旁 觀者那樣。假如曲線趨近某個特定點並停在那，則群體穩定到一個定態，它們在此都不發生變化——就像耗盡了燃料的賽車。由於幸 運的巧合，循環和定態具有重要的生態意義—特別是，它們給群 體規模設定了上限和下限。所以肉眼最易看出的這些特徵確實是 實際事物的特徵。並且，許多不相關的細節可以被忽略——例如， 不必描述其精確形狀，我們就可以看出存在一種閉合環(它代表兩 個群體循環的合成“ 波形”)。
假如我們試一試一對不同的初始值，那將會發生什麼情況? 我 們得到第二條曲線。每一對初始值定義一條新曲線。通過畫出一 整族的此種曲線，我們可以抓住所有初始值之下系統所有可能的 行為。這族曲線類似於圍繞平面盤鏇的一種虛擬數學 流體的流線。 我們稱此平面為系統的相空間，那族盤鏇曲線是系統的相圖。取代 具有各種初始條件的以符號為基礎的 微分方程概念，我們有了流經豬塊菌空間的點的直觀幾何圖像。這僅在其許多點是潛在點而非實際點而有別於普通平面：它們的坐標對應於在適當初始條件 下可能出現，但在特定情況下可能不會出現的豬頭數和塊菌株數。 所以，除了從符號到 幾何的心理轉移，還存在從實際向潛在的哲理 性的轉移。
對於任何動力學系統，都可以構想同一種類型的幾何圖像。有 相空間，其坐標是所有變數的值；有相圖，即一族表示從所有可能 的初始條件出發的所有可能行為的盤鏇曲線，這些曲線為微分方 程所刻劃。這一思想是一大進展，因為我們無需關心微分方程解的 精確數值，而可以把注意力集中於 相圖的寬廣範圍，使人發揮其最 大優勢(即驚人的圖像處理能力)。作為把全部潛在行為編織起來 的一種方式(自然界從中選擇實際觀察到的行為)的 相空間圖，在 科學中已被廣為套用。
龐加萊這一大創新所帶來的結果，是動力學可藉助被稱為 吸引子(attractor)的 幾何形狀來加以直觀化。假如你使一動力學系 統從某個初始點出發，觀察它長期運作的情況，你往往會發現，它 最終圍繞相空間中某個明確的形狀遊蕩。例如，曲線可以向一個閉 合環鏇進，然後繞環永遠兜圈子。而且， 初始條件的不同選擇會導 致相同的終末形狀。倘若如此，那形狀就叫做 吸引子。系統長期的 動力學特性受其 吸引子支配，吸引子的形狀決定產生何種類型的 動力學特性。
例如，趨向於 定態的系統，它具有的 吸引子是一個點。趨向於 周期性地重複同樣行為的系統，它具有的 吸引子是一個閉環。也就 是說，閉環 吸引子相當于振盪器。請回憶一下第五章有關振動的小提琴弦的描述：小提琴弦經歷一系列最終使它回歸到出發點的運 動，並將一遍又一遍重複那個系列。我的意思不是小提琴弦以物理 環運動，但我對它的描述是隱喻意義上的閉環：運動經過相空間的 動態地形而環遊。
混沌有其自身頗為古怪的幾何學意義，它與被稱為 奇異吸引子的離奇分形形狀相聯繫。蝴蝶效應表明， 奇異吸引子上的詳細運 動不可預先確定，但這並末改變它是吸引子這個事實。構想一下如果把一個古球拋進波 洶湧的大海，無論你從空中向下丟球，還是從水下讓球向上浮，球都會向海面運動。一旦到了海面之後，它 就在起伏的波浪中經歷一個很複雜的運動路徑，但不管這路徑多么複雜，球仍然留在海面上或至少很接近海面。在這一圖景里，海 面是 吸引子。因此，儘管有混沌，不論出發點可能是什麼，系統最終 將很接近它的 吸引子。
混沌作為一種數學現象已得到充分證實，但在現實世界裡我 們如何檢測它呢? 我們必須完成一些實驗，但這存在一個問題。實 驗在科學中的傳統作用是檢驗理論預言，但要是 蝴蝶效應在起作用—正像它對任何混沌系統所做的那樣——我們怎么能期望去 檢驗一個預言? 莫非混沌天生不可檢驗，從而是不科學的? 回答是，“不”! 因為“預言”這個詞有兩個含義。一是指“預卜未來”。當混沌出現時，蝴蝶效應阻礙預卜未來。但另一個含義是 “預先描述實驗結果將是什麼”。讓我們來考慮一下如果擲100次 硬幣的例子。為了預言— 在算命先生的意義上預卜— 會發生 什麼情況，你必須預先列出每一次拋擲的結果。但你可以作出科學 的預言，如“大約一半硬幣將正面朝上”，而不必具體地預卜未來——甚至預言時，這系統仍然是隨機的。沒有人會因為統計學處理 不可預言的事件而認為它不科學，因此亦座以同樣態度來對待混沌。 你可以作出各種各樣的關於混沌系統的預言。事實上，你可以 作出充足的預言把確定性混沌與真正的隨機性區分開。你能常常 預言的一件事是 吸引子的形狀，它不受蝴蝶效應的影響。蝴蝶效應所做的一切，是使系統遵從同一吸引子上的不同軌線。總之， 吸引子的一般形狀往往可從實驗觀測中得到。
混沌的發現揭示了我們對規律與由此產生的行為之間——即原因與結果之間——關係的一個基本性的錯誤認識。我們過去認 為，確定性的原因必定產生規則的結果，但現在我們知道了，它們可以產生易被誤解為隨機性的極不規則的結果。我們過去認為，簡單的原因必定產生簡單的結果(這意味著複雜的結果必然有複雜 的原因)，但現在我們知道了，簡單的原因可以產生複雜的結果。我 們認識到，知道這些規律不等於能夠預言未來的行為。
原因和結果之間的這種脫節是怎么出現的? 為什麼相同的一 些規律有時候產生明顯的模式，有時候卻產生混沌? 答案可以在家家戶戶的廚房裡，就在打蛋器那樣簡單的機械裝置中找到。兩條打蛋臂的運動簡單又可預言：每條打蛋臂都平穩地鏇轉。然而，裝置里的糖和蛋白的運動則複雜得多。糖和蛋白在打蛋臂的作用下得到混合，那正是打蛋器要達到的目的，但那兩條鏇轉的打蛋臂並未絞在一起。當你打完蛋後，不必把打蛋臂解開。為什麼調合蛋白的運動如此不同於打蛋臂的運動? 混合是一個遠比我們想像的複雜得多的動態過程。構想一下，試圖預言一顆特定的糖粒最終將在何處是何等艱難! 當混合物在那對打蛋臂之間通過時，它被向左右兩邊扯開。兩顆起初緊靠在一起的糖粒不久分得很開，各走各的道。 事實上，這正是蝴蝶效應在起作用。初始條件中的微小變化有著巨大的影響。因此，混合是一個混沌過程。
反之，每一個混沌過程都包含一種在龐加萊虛擬相空間中的數學混合。這就是潮汐可預言、而天氣不可預言的原因。兩者包含同一種類型的數學，但潮汐的動力學不在相空間混合，而天氣的動力學則在相空間混合。
科學在傳統上看重秩序，但我們正開始認識到混沌能給科學帶來獨特的好處。混沌更容易對外部刺激作出快速反應。構想一下等待接發球的網球運動員。他們站著不動嗎? 他們有規則地從一邊移向另一邊嗎? 當然不。他們雙腳零亂地蹦跳。部分原因在於擾亂其對手；但同時也準備對任何發過來的球作出反應。為了能夠向任何特定方向快速運動，他們在許多不同方向上作出快速運動。混沌系統與非混沌系統相比較，前者輕而易舉地就能非常快地 對外部事件作出反應。這對工程控制問題來說很重要。例如，我們 現在知道某類湍流由混沌造成——混沌正是使湍流混亂不堪的元兇。我們也許可以證明，通過建立對破壞任何小區域的原發湍流作 出極快反應的控制機制，使擦過飛機表面的氣流不致太湍亂，從而減小運動阻力，這種情況是可能的。活的生物為了對變化的環境作 出快速反應，也必須呈現混沌行為。
這一思想已被一群數學家和物理學家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾倫·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·約克 (Jim Yorke)，變成了一項非常有用的實用技術，他們稱之為混沌控制。實質上，這一思想就是使 蝴蝶效應為你所用。初始條件的小變化產生隨後行為的大變化，這可以是一個優點；你必須做的一 切，是確保得到你想要的大變化。對 混沌動力學如何運作的認識， 使我們有可能設計出能完全實現這一要求的控制方案。這個方法已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是僅用衛星上遺留的極少量肼使一顆“死”衛星改變軌道，而與一顆小行星相碰撞。美國 國家航空與航天管理局操縱這顆衛星圍繞月球鏇轉5圈，每一圈 用射出的少許肼將衛星輕推一下，最後實現碰撞。
這一數學思想已被用來控制湍亂流體中的一條磁性條帶—— 控制流經潛水艇或飛機的湍流的一個原型；控制使胡亂跳動的心臟恢復有規則的節律，這預示著智慧型起搏器的發明；用來建立和防止腦組織中電活動的節律波，這又開闢了預防癲癇發作的新途徑。 混沌已是一個迅速發展的行業。每一個星期都有有關混沌的 數學基礎的新發現、混沌對我們認識自然界的新套用，或有關套用混沌產生的新技術的報導，包括混沌洗碟機(日本人發明用兩條混沌 鏇轉的轉臂使碟子潔淨的節能機器)和英國人發明的用混沌理論進行數據分析從而改進礦泉水生產中的質量管理的機器。 然而，還有更多的東西有待研究。或許混沌最終懸而末決的問題是奇異的量子世界，幸運女神主宰那裡的一切。放射性 原子“隨機地”衰變，它們唯一的規律是 統計規律。大量放射性 原子雖有明確的“ 半衰期” 一段半數原子將衰變的時間，但我們不能預言哪一半原子即將衰變。前面提到的愛因斯坦的斷言，就是針對這一問題的。在將不衰變的放射性原子與將要衰變的放射性原子之間， 確實根本不存在任何差別嗎? 原子怎么知道該乾什麼? 量子力學的表觀隨機性可能騙人嗎? 它確實是確定性混沌嗎?
構想原子是宇宙流體的某種振動液滴。放射性原子很有力地振動， 並且較小的液滴時常會分裂——衰變。這振動快得我們無法對它們進行細緻測量，我們只能測量平均量(如能級)。現在，經典力學告訴我們，一滴真實流體會混沌地振動。當它振動時，其運動是確定性的，但不可預言。許多振動不約而同“隨意地”分裂微小的液滴。蝴蝶效應使得不可能預言何時液滴將分裂，但這事件具有精確的統計特徵，包括明確的“ 半衰期”。
放射性 原子表觀隨機衰變可能是某種在微觀尺度上的類似物? 為什麼終歸存在 統計規律? 統計規律是內在確定性的外顯，抑或會來自別的什麼地方? 遺憾的是，尚沒有人使這誘人的思想產生結果——儘管它在精神上類似於時髦的超弦理論，在超弦理論中， 亞原子 粒子是一種人為的振動著的多維環。在這裡主要的類似特徵是，振動環與振動液滴都將新的“內部變數”引入其 物理學圖景中，而顯著的區別在於它們處理 量子不確定性的方式。超弦理論同傳統量子力學一樣，把這種不確定性視為真正的隨機。然而，在一個像液滴這樣的系統里，表觀不確定性實際上是由確定性的(但是混沌的)原動力所產生。訣竅——如果只有我們知道如何來操作的話——也許在於：發明某種維持超弦理論成功特徵的結構，同時造就幾個行為混沌的內部變數。它可能是使上帝的骰子變得確定，並使愛因斯坦在天之靈欣慰的一條動人途徑。
