概述
楊-米爾理論
楊-米爾理論黎曼假設、龐加萊猜想、霍奇猜想、波奇和斯溫納頓—戴爾猜想、納威厄—斯托克斯方程、楊—米爾理論、P對NP問題被稱為21世紀七大數學難題。2000年，美國克雷數學研究所將它們設為“千年大獎問題”，每個難題懸賞100萬美元徵求證明。
ρ楊—米爾理論
證明量子Yang.Mills場存在並存在一個質量間隙。
量子物理的定律是以經典力學的牛一定律對世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：普雷斯頓、斯坦福、歐洲粒子物理研究所、普林斯頓和筑波。儘管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中套用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
研究過程
楊-米爾理論為了讓大家理解這個理論，還要要補充的。上面說了，楊振寧和Mills的論文，從數學觀點講，是從描述電磁學的阿貝爾規範場論到非阿貝爾規範場論的推廣。
非阿貝爾規範場是為了描述原子核里的核子們(當時認為就是質子和中子)為什麼會被緊緊拉在一起，而不會被正電之間強烈的排斥力而炸開(質子們帶正電，是互相排斥的)，而構想的一種作用力場。
電磁力是由電磁場傳播的。電荷及其運動所形成的電流產生了電磁場，場傳出去後可以作用在遠處電荷和電流上。於是，楊振寧和Mills也構想了一種類似電磁場的別的場來傳遞核力，那就是非阿貝爾規範場。
這個構想看似容易，其實很難。最重要的是，楊振寧和Mills此時極大地推廣了場和荷的含義。他們構想了一種更為複雜的荷(當然不能再叫電荷了)和它們所產生的場：這些荷和場都不是普通的實數能表示的，它們是一些矩陣。矩陣的乘法是不能交換的，這種乘法的不交換性叫“非阿貝爾”的。因此也叫非阿貝爾規範場。對那些學過物理的人應該說明的是：學過量子力學的人知道，量子理論里力學變數可以表示成矩陣。但這裡說的場和荷表示成矩陣不是由於量子化的結果，而是在經典物理的意義上它們就是矩陣。
楊-Mills的那篇文章是1954年發表的。那時這個理論中還有幾個關鍵的問題不能解決（比如質量問題，量子化和重整化之類，這是些更為專業的名詞，只有研究這個方向的理論物理博士們才學的）。而且在隨後的六十年代，物理學界對於用場的觀點描述核力是較為悲觀的，那時別的觀點在物理學家中占主流。
楊-米爾理論不過後來，經過幾位物理學家近二十年左右的持續探索，解決了所有原來不能解決的問題。而且，後來找到了別的不同的荷（當時還不知道呢）分別能產生強力和弱力（核力就分這兩種力）。但它們用的數學形式都是類似的，都是楊-Mills理論。不同的是其中矩陣的大小不一樣：有2乘2的、有3乘3的；如果所用的矩陣是1乘1的，那它就是以前的法拉第和麥克斯韋的電磁理論。到了七十年代末，就知道自然界的所有基本作用力--引力，電磁力，弱力，強力中，除引力外的其它三種力都能用楊-Mills場描述。 這就是可以看出這個理論對物理學的影響有多大了。
楊振寧和Mills所構想的那種古怪的荷叫做"同位旋"。他們把描述電磁場的麥克斯韋理論做了一個優美而且深刻的推廣，得到一個新方程，後來就叫楊-Mills方程。當然比麥克斯韋方程普遍得多也複雜得多了。至於推廣的方法，是依據了一個來自電磁理論的原理，叫做“定域規範不變原理”。這個我會在下一章給大家做介紹。
有的物理學家指出，物理學基本定律可以寫在一件文化衫上（意思是很簡潔）。從牛頓時代開始，物理的主要目標就是描述物質結構、相互作用和運動規律。隨著物理學的發展，這個簡單的目標又進一步被簡化了。因為後來知道物質其實也是場，不過是所謂的“量子場”的一種。因此物理學最基本的定律就是描述各種場的運動和它們之間的作用。現在如果要做那樣一件物理學文化衫的話，可以肯定地說，楊-Mills方程是一定應該寫上的。
有人提出比如這類質疑：有的說楊-Mills理論後面的很多進展不是他們做的，是別的物理學家做的，怎么還說他們的貢獻那么大。還有的說楊-Mills方程最初的出發點是“錯的”，怎么還說那么重要。前一類疑問很容易解釋。確實，楊-Mills理論在物理上取得這么大的成功，包括了前後好多位物理學家的貢獻。如Higgs,Veltman,t'Hooft,Gross,Wilczek,Politzer,Weinberg,Salam等。其中好幾位得到了諾貝爾獎，但Higgs還沒得。還有數學家，如量子化楊-Mills場的俄國數學家Faddeev和Popov，他們也沒得諾貝爾獎，同樣楊振寧也不是因為提出楊-Mills場得的諾貝爾獎（似乎諾貝爾獎不傾向給理論的數學基礎上的貢獻，而願意給和實驗有直接聯繫的結果，愛因斯坦也不是因為提出相對論得的獎，而是因為解釋光電效應實驗）。
如此多人的貢獻，如果整個是由一個人作出來的，那他的成就和愛因斯坦一樣大了，甚至可以說是超過愛因斯坦！只有愛因斯坦曾經以一人之力建立了相對論。其它的物理理論，如量子力學，特別是後來的量子場論，都是由很多人，有時是經過幾代人很多年的持續努力才建立起來的。
摘自獨立學者靈遁者量子力學書籍《見微知著》
