楊輝定理

2．通過研究楊輝三角橫行的數字規律，培養學生由特殊到一般的歸納猜想能力。 （1）楊輝三角的第2k行中第k個數最大；即 （2）楊輝三角中第

楊輝三角（1）
目的要求
1．了解有關楊輝三角的簡史，掌握楊輝三角的基本性質。
2．通過研究楊輝三角橫行的數字規律，培養學生由特殊到一般的歸納猜想能力。
3．通過小組討論，培養學生髮現問題。探究知識、建構知識的研究型學習習慣及合作化學習的團隊精神。
內容分析
本課的主要內容是總結楊輝三角的三個基本性質及研究發現楊輝三角橫行的若干規律。
楊輝三角的三個基本性質主要是二項展開式的二項式係數即組合數的性質，它是研究楊輝三角其他規律的基礎。楊輝三角橫行的數字規律主要包括橫行各數之間的大小關係。組合關係以及不同橫行數字之間的聯繫。
研究性課題，主要是針對某些數學問題的深入探討，或者從數學角度對某些日常生活中和其他學科中出現的問題進行研究。目的在於培養學生的創新精神和創造能力。它要求教師給學生提供研究的問題及背景，讓學生自主探究知識的發生髮展過。從問題的提出、探索的過程及猜想的建立均主要由學生自主完成，教師不可代替，但作為組織者，可提供必要指導。
教師首先簡介楊輝三角的相關歷史，激發學生的民族自豪感和創造欲望，然後引導學生總結有關楊輝三角的基本知識（研究的基礎）及介紹發現數字規律的主要方法（研究的策略），並類比數列的通項及求和，讓學生對n階楊輝三角進行初步的研究嘗試活動，讓學生充分展開思維進入研究狀態。
以下主要分小組合作研究楊輝三角的橫行數字規律，重點發現規律，不必在課堂上證明。
教學過程
（一）回顧舊知
1．用電腦展示賈憲三角圖、朱泄傑的古法七乘方圖、帕斯卡三角圖（附後），同時播放用古代民族樂器演奏的音樂。
教師介紹楊輝三角的簡史：北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》（1961年）記載並保存了“賈憲三角”，故稱楊輝三角。元朝數學家朱世傑在《四元玉鑒》（1303年）擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。在歐洲直到1623年以後，法國數學家帕斯卡在13歲時發現了“帕斯卡三角”。
2．用電腦展示15階楊輝三角或事先印好15階楊輝三角分發給學生。對照楊輝三角，回顧高二下學期學過的楊輝三角的構造及基本性質，並由學生敘述。
1°與二項式定理的關係：楊輝三角的第n行就是二項式 展開式的係數列 。
2°對稱性：楊輝三角中的數字左、右對稱，對稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”，即 。
3°結構特徵：楊輝三角除斜邊上1以外的各數，都等於它“肩上”的兩數之和，即 。
（二）分組研究楊輝三角橫行規律（將全班學生按前後排四或五人一組分成若干研究小組）
1．介紹數學發現的方法：楊輝三角中蘊涵了許多優美的規律。古今中外，許多數學家如賈憲、楊輝、朱世傑、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過，並將研究結果套用於其他工作。他們研究的方法可以歸納為：
15階楊輝三角
2．學生嘗試探索活動。
（1）n階楊輝三角中共有多少個數？
（2）n階楊輝三角的通項公式是什麼？即n階楊輝三角中的第k行第r個數是什麼？
（3）n階楊輝三角的第k行各數的和是多少？所有數的和是多少？
學生獨立思考後，由學生髮言，得出結論。n階楊輝三角中共有 個數， 第n+2行第3個數；通項公式為 ， ， 。
3．按研究橫行數字規律的方向開展研究工作，工作的重點是發現規律。教師巡視指導，必要時可參與某小組的討論活動。最後由小組代表陳述研究結果及建立猜想的大致思路。
（1）楊輝三角的第2k行中第k個數最大；即 ；第2k＋1行中第是k個數與第k＋l個數相等且最大，即 ；2k階楊輝三角中最大數為 ，2k＋1階楊輝三角中的最大數為
。
（2）楊輝三角中第 行的所有數都是奇數（k∈N*），即 為奇數（m=0，1，…， ）；第 行的所有數（除兩端的1以外）都是偶數（k∈N*），即 為偶數（r=1，2，…， ）；其他行的所有數中，一定既有偶數又有除1以外的奇數。
（3）第p（p為素數）行除去兩端的數字1以外的所有數都能被p整除，其逆命題也成立。即對任意r∈{1，2，…，n-1}，都有 是素數。
（4）將第n行的所有數按從左到右的順序合併在一起得到的多位數等於 。
（5）第2n行的第n個數是第2n-1行的第n-1個數的2倍，即。 。
……
（三）小結
（1）請學生小結自己在研究過程中的體驗：如何選定研究線索，使用什麼方法發現結論，碰到什麼困難，如何突破創新等。
（2）教師規範對楊輝三角各性質的表述，小結探究思路。
布置作業
如圖，每一幅小圖中的圓的個數及圓上的點、線段、三角形、四邊形、五邊形、六邊形的數目有一定的變化規律，研究楊輝三角，你能找出兩者間的關係嗎？
附（1）：證明：當 時， 是奇數。
證明：對任何一個正整數m，都存在唯一的自然數 與正奇數 ，使 。設 ， ，…， ，…。
當 時，
∵上式的分子、分母都是奇數，且分式值是正整數，
∴ 是奇數