在數學上，以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的 柯西乘積，是指兩組數列{\displaystyle a_{n},b_{n}}的離散卷積。
{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}
該數列乘積被認為是自然數{\displaystyle R[\mathbb {N} ]}的半群環的元素。
級數
一個特別重要的例子是考慮兩個嚴格的形式級數（不需要收斂）{\displaystyle a_{n},b_{n}}：
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},}
一般地，對於實數和複數， 柯西乘積定義為如下的離散卷積形式：
{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},}
這裡{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots }
“形式”是指我們對級數運算時不考慮是否收斂，參見形式冪級數。
人們希望，通過對兩組級數做實際卷積的有限和的類推，得到無窮級數
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}
等於如下乘積：
{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}
就如同兩個數列的和是有限範圍一樣做乘法。
在充分良態（well-behaved）的情況下，上述式子成立。而更重要的一點，儘管這兩個無窮級數可能不收斂，它們的柯西乘積仍可能存在。
示例[編輯]
有窮級數[編輯]
對於{\displaystyle i>n}、{\displaystyle i>m}，有{\displaystyle x_{i}=0}，{\displaystyle y_{i}=0}即為有窮級數，則{\displaystyle \sum x}和{\displaystyle \sum y}柯西乘積可以展開為{\displaystyle (x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})}，因此可以直接計算乘積。
無窮級數[編輯]
•對某些{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }，構造{\displaystyle x_{n}=a^{n}/n!\,}和{\displaystyle y_{n}=b^{n}/n!\,}，由定義和二項式展開可知：
{\displaystyle C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}}
形式上，{\displaystyle \exp(a)=\sum x}，{\displaystyle \exp(b)=\sum y}，我們已表明{\displaystyle \exp(a+b)=\sum C(x,y)}。由於該兩個絕對收斂數列的柯西乘積等於兩個數列極限的乘積，（見下面的證明），因此我們就可證明這個表達式對於{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }有{\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}
•另外一個例子，令{\displaystyle x(n)=1}（{\displaystyle n\in \mathbb {N} }），則{\displaystyle C(x,x)(n)=n+1}對所有{\displaystyle n\in \mathbb {N} }成立，則柯西乘積{\displaystyle \sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )}，該乘積不收斂。
收斂和梅爾滕斯定理[編輯]
令 x, y為實數數列，弗蘭茲·梅爾滕斯（Franz Mertens）提出，如果級數{\displaystyle \sum y}收斂到 Y，且級數{\displaystyle \sum x}絕對收斂到 X，則他們的柯西乘積{\displaystyle \sum C(x,y)}收斂到 XY。對於兩個級數為條件收斂時，結論不成立。例如序列{\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}/n}是一個條件收斂序列，而{\displaystyle C(x,x)}不收斂到0.
下面是一個證明：
梅爾滕斯定理的證明[編輯]
令{\displaystyle X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}}，{\displaystyle Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}}，{\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)}，重排後{\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}}。
則{\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}}，對任意給定的 ε > 0，因為{\displaystyle \sum x}絕對收斂，{\displaystyle \sum y}收斂，因此存在一個整數 N，對於任意 n≥ N{\displaystyle |Y_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}}，和存在一個正整數 M，對於所有{\displaystyle n\geq M}，有{\displaystyle |x_{n-N}|<{\frac {\varepsilon }{4N\sup |Y_{n}-Y|+1}}}（由級數收斂，則式子收斂到0），同樣的，存在一個整數 L，如果有{\displaystyle n\geq L}，則{\displaystyle |X_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}}。
因此，對於所有 n大於 N, M, L，有：
{\displaystyle |C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon }
根據收斂的定義，即：{\displaystyle \sum C(x,y)\to XY.}
切薩羅定理[編輯]
如果 x， y是實數數列，且{\displaystyle \sum x\to A}，{\displaystyle \sum y\to B}，則有：
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB.}
