公式陳述
對於單一複數變數“z”的形式冪級數
![柯西-阿達馬公式](/img/b/d62/wZwpmLygzM3kDNxMDOxUTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/e/5fd/wZwpmL3EzNzUDNzYDM0YTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2AzL4IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
上式中
則該級數收斂半徑R 由下式給出:
![柯西-阿達馬公式](/img/f/2f5/wZwpmL2YTM1EDOyMDOxUTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzL0IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
其中limsup定義為
![柯西-阿達馬公式](/img/8/e51/wZwpmL0UzN5QTM0YzNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2czLwgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
其中sup為集合的最小上界。
形式冪級數
形式冪級數和多項式的形式定義有類似之處。對於熟悉冪級數的讀者,也可以將其看作是不討論冪級數斂散性,也就是將其中的不定元僅僅看作是一個代數對象,而不是任何具體數值的時候寫出的冪級數。舉例來說,以下的級數式子:
![柯西-阿達馬公式](/img/0/1c1/wZwpmLyEzN5MDM1MDOxUTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzLyczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/6/6b5/wZwpmLyYDMzUTO5kjNxUTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5YzLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/d/845/wZwpmL3YDN0QTMxAzNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLzUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
如果我們把它當成冪級數來研究的話,重點會放在它的收斂半徑等於1、其對應的冪級數函式是否滿足某些性質等等。但作為形式冪級數來研究時,我們關注的是它本身的結構。我們甚至可以把它簡寫為: 這樣,只關注它的係數。我們完全可以考慮各種係數的形式冪級數。比如說係數為階乘的形式冪級數: ,即使說它對應的冪級數:
![柯西-阿達馬公式](/img/4/54f/wZwpmL1ATMygDO4IDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLygzL1czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/d/248/wZwpmL4czMxQDOwITO5ADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLykzLxEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
在 取任何的非零實數值時都不收斂,我們仍然可以將其作為形式冪級數進行運算。
和多項式環中的元素一樣,形式冪級數之間也可以做加減和乘法的運算,具體的計算方式和多項式環一樣。比如說設:
![柯西-阿達馬公式](/img/4/80f/wZwpmLwIzNzYDO4ETM0YTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxEzLwczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/c/c8f/wZwpmL3gTMycjM4QTOwADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0kzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/5/8fe/wZwpmLwIzN1gDO1ADO3EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwgzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/9/553/wZwpmLxgzN4kzMxgjNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzL1MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
那么 與 的和就是:
![柯西-阿達馬公式](/img/6/212/wZwpmL3ADN2YDO2MTOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/d/67e/wZwpmL2AjM1ATO2cTOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3kzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/9/5ea/wZwpmLzUDM3ITOxYTOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2kzLwYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/c/c8f/wZwpmL3gTMycjM4QTOwADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0kzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/5/8fe/wZwpmLwIzN1gDO1ADO3EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwgzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/9/5ea/wZwpmLzUDM3ITOxYTOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2kzLwYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/d/2c9/wZwpmLyQzNwMTO4UDM5IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL1AzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/e/e32/wZwpmL4ATMzQjM3UDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1gzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/c/c8f/wZwpmL3gTMycjM4QTOwADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0kzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/5/8fe/wZwpmLwIzN1gDO1ADO3EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwgzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/d/248/wZwpmL4czMxQDOwITO5ADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLykzLxEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
其中 裡面 的係數就是 與 中 的係數的和; 裡面 的係數就是 與 中 的階數相加等於5的項的係數乘積的和 :
![柯西-阿達馬公式](/img/1/154/wZwpmL0ADN5IjNwkjNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5YzL0YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/a/e3f/wZwpmL1AzN1kDO3ATMwEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/3/a12/wZwpmL4gjN2MDOxUjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1IzL3IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
對每個確定的階數 ,這個計算是有限項(至多 項)的相加,所以在計算形式冪級數的加減法和乘法的時候,不需要像在對冪級數進行計算時一樣,考慮諸如是否絕對收斂、條件收斂或是一致收斂的問題。另外,如多項式的形式運算一樣,形式冪級數也滿足加法的交換律、加法的結合律、乘法的交換律、乘法的結合律以及乘法對加法的分配律。
![柯西-阿達馬公式](/img/c/c8f/wZwpmL3gTMycjM4QTOwADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0kzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/b/be3/wZwpmLxUTN2gTM5cTO4kzM0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3kzL1YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/e/b1e/wZwpmLyUDO5MDMwYzNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2czL0IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/b/be3/wZwpmLxUTN2gTM5cTO4kzM0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3kzL1YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/7/fbc/wZwpmL4UTM4kDOxgTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4EzL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/c/c8f/wZwpmL3gTMycjM4QTOwADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0kzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/0/38f/wZwpmLyEDM1YTNygDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4gzLzMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
形式冪級數不僅能夠定義乘法,也能定義乘法逆的運算。一個形式冪級數 的逆是指另一個形式冪級數 ,使得 . 如果這樣的形式冪級數 存在,就是唯一的,將其記為 。同時我們也可以定義形式冪級數的除法:當 的逆存在時, 比如說,可以很容易驗證:
![柯西-阿達馬公式](/img/b/4b0/wZwpmL0MTN0QzM2MTM0YTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzEzLxczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/2/8ee/wZwpmLwATO0gjM1MDO2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzL0EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/8/5c4/wZwpmL2ATN1EjM1QTOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0kzLxEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/0/1c1/wZwpmLyEzN5MDM1MDOxUTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzLyczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
形式冪級數上的一個重要映射是係數的提取操作:將一個形式冪級數映射到它的 的係數。這個操作常常記作 ,比如說對形式冪級數 ,就有:
![柯西-阿達馬公式](/img/e/261/wZwpmLxQDN4YTNwQDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0gzLzQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/5/8fe/wZwpmLwIzN1gDO1ADO3EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLwgzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/9/051/wZwpmL4cTN2QjN5EDNxUTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxQzL4gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![柯西-阿達馬公式](/img/6/3e3/wZwpmLyATO1YDN1AzNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLwYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
對以上定義的形式冪級數 ,也有:。又比如:,。提取映射和多項式環中的對應映射一樣,都可以看做是到一個子空間的投影映射。