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“鐘慢效應”是相對論的一個重要結論。按照相對論的解釋,這是因為物體的運動使時間變慢了。其實並非如此。根據統一論力學模型,同樣可以得出一個時間變化的公式,與“鐘慢效應”公式完全相同,即t=t 。但它是表示一個存在體運動時在時間維上發生了(t -t)的“位移”,與存在體在空間維上的位移是對應的。不僅如此,統一論發現,存在體運動時還會在心理維上發生“位移”。
時頻分布的變形(Motionsonthetime-frequencydistribution)是指信號經過時頻分析(Time-frequencyanalysis)的結果,在時頻平面(time-frequencyplane)上圖形的各種變形。
對時頻分布做各種變形,皆有其對應的物理意義。常見的時頻分布的變形有下列幾種:水平平移、鉛直平移、擴張、斜推、旋轉。時頻分布的變形在分離信號、濾波器設計、取樣定理、調變及多工…等領域上都有相當的幫助。
變形的種類
水平平移
簡單來說,水平平移就是信號在時間軸上的平移。例如一個在0秒至3秒之間大小為1,其他為0的方波信號,被平移成為10秒至13秒之間大小為1,其他為0的方波。若一個信號x經過水平平移t0時間單位後得到的信號為y,則x與y的時頻分布關係為:
W_y(t,\,f)=W_x(t-t_0,\,f)
鉛直平移
鉛直平移就是信號在頻率軸上的平移,在通訊上也被稱為調變。將一個基頻的訊號經過調變之後變換到射頻來傳送,可以更加有效的利用頻率資源。若一個信號x經過鉛直平移f0頻率單位後得到y,則
W_y(t,\,f)=W_x(t,\,f-f_0)
擴張
擴張變形對時頻分布圖形造成的影響是:在時間軸拉伸a倍,而在頻率軸壓縮a倍。擴張變形的重要特性是時頻分布佔有的面積不變。若一個信號x經過a倍的擴張變形,得到的結果為y,則
W_y(t,\,f)=W_x\left(\frac{t}{a},\,af\right)
斜推
沿著時間軸方向做斜推變形,造成的影響是:時間軸方向的位移量與頻率大小成正比。反之,沿著頻率軸方向做斜推變形,則會使頻率軸方向的位移量與時間大小成正比。沿時間軸的斜推變形,是信號與chirp函數做摺積運算的結果;沿頻率軸的斜推變形,是信號與chirp函數相乘的結果。若一個信號x沿著時間軸做a倍的斜推變形後得到的結果為y,則
W_y(t,\,f)=W_x(t-af,\,f)
旋轉
旋轉變形顧名思義就是把圖形對著原點旋轉。對信號做傅立葉變換會將圖形順時針方向旋轉90度;同樣的,做傅利業反變換會將圖形逆時鐘旋轉90度。而分數傅立葉變換可將圖形旋轉任意的角度。若一個信號x做傅立葉變換後得到的結果為y,則
W_y(t,\,f)=W_x(-f,\,t)
時頻分析變形的應用
濾波器設計
傳統的濾波器設計,是在頻域對不同頻率給定不同的頻率響應,藉此壓抑或是強化某些頻率的能量。因為一般而言被處理的信號都是時變的,在加入時頻分析工具以及變形之後,可以對信號做更複雜的處理,得到更好的效果。
取樣定理
時頻分布所佔的面積,相當於一個信號所需要取樣的次數。同上原因,對信號的時頻分布進行適當地變形及切割之後,可以使取樣點數降低或是讓取樣方法更簡單。
調變與多工
在通訊系統中,我們為了有效的利用傳輸資源,會進行分時多工或是分頻多工,把時間或頻率切割成小的區塊再將訊號載在其中。同樣的,若利用時頻分布的變形,我們有機會把信號調整成更適合小區塊的形狀再放入,進而節省通訊資源。