數學物理方程與特殊函式[清華大學出版社圖書]

《數學物理方程與特殊函式》是2011年清華大學出版社出版的圖書，作者是楊奇林。

圖書信息

數學物理方程與特殊函式[清華大學出版社圖書]

書名：數學物理方程與特殊函式

作者：楊奇林

ISBN：9787302258551

語種： 簡體中文

定價：19.00元

出版日期：2011-7-11

出版社：清華大學出版社

圖書簡介

本書主要介紹了三類基本二階線性偏微分方程--波動方程、熱傳導方程和位勢方程的各種求解方法以及特殊函式的基礎知識。全書分8章，分別是： 一些典型方程和定解條件的推導、偏微分方程的基本概念和分類、特徵線法、分離變數法、特殊函式、積分變換法、Green函式法、偏微分方程數值解初步。

本書比較全面地介紹了偏微分方程基本解理論，求解波動方程的特徵線法，作為特殊函式理論基礎的Sturm-Liouville理論， 三種類型邊值問題Green函式的求法；特別介紹了用Riemann映射定理求Green函式的方法。本書例題豐富，習題選取少而精；講解推理自然，深入淺出。

本書可作為理科非數學專業和工程科學各專業本科的教材或教學參考書。

前言

17~18世紀，Newton-Leibniz創立的微積分在經典力學上得以廣泛運用並取得了輝煌的成就。二體問題的解決、海王星的發現， 都是常微分方程成功套用於質點動力學的壯麗篇章。隨著分析力學的發展，人們開始研究連續變化的介質，如弦振動、彈性固體變形、流體流動等複雜力學現象的規律，得到了一系列偏微分方程。 古典力學的Hamilton-Jacobi理論和計算變分的Euler-Lagrange方程都會導出偏微分方程。1864年J.Maxwell用以其命名的偏微分方程組預言了光是一種電磁波，這個預言20年後被H。 Hertz的試驗證實：廣義相對論中Einstein引力場方程的球對稱解，準確解釋了水星，並預言了太陽引力場中光線的偏折，成為廣義相對論正確性的有力論證。在量子力學中偏微分方程的套用更是隨處可見。在過去的兩個多世紀裡，偏微分方程不僅成功地套用於物理學和其他自然科學，預見和揭示了小到夸克、大到天體的物質運動普遍規律。也為純粹數學積累了豐富的素材，成為近代抽象數學發展的重要推動力量。

偏微分方程不僅僅是古典多元微積分的副產品，它的無可置疑的有效性和高度的複雜性，使得它成為一門獨立的學科和我們理解自然科學、提高科學文化素質的必需營養。在氣象、機械、電信、化工、生態、經濟、人口和其他社會科學的各個領域中都會遇到表現為偏微分方程的數學模型，解釋這些模型的合理性和尋求它們的解成為科學工作者的重要課題，而並不只是數學家們的責任。隨著科學研究分工的專業化和科學計算的飛速發展，偏微分方程理論將逐漸走出數學家們的殿堂，成為自然科技工作者們的重要工具。

數學物理方程(法)作為微積分和常微分方程課程的繼續來介紹偏微分方程的基礎知識，它雖然有鮮明的個性特點，但絕不是孤立的、無可捉摸的難學。國內早在20世紀六七十年代就出現了很多優秀的數學物理方程教材，但這些教材的不足是講解、例題和習題都過於繁瑣，既不利於教，也不利於學，以至於很多人對這門課望而生畏。自從開設這門課以來，出現了一些簡寫改編的教材，但又似乎過於簡略，把許多基本的重要內容都省掉了。在為清華大學電子系學生授課的過程中，本人結合前輩教材的優點，萌生了編寫本教材的念頭，希望為同學們提供一本更加適合他們的教材，來彌補前述教材的不足。編寫此教材的基本精神是:數學介紹要嚴謹，教材篇幅要適當，能介紹完主要的傳統教學內容，同時又有利於同學們的進一步學習。 本著上述精神，本人對教材作了細緻深入的設計。在第1章和第2章中，用不太長的篇幅介紹了偏微分方程的分類，強調了線性偏微分方程和非線性偏微分方程的區別，通過與線性常微分方程類比介紹了線性偏微分方程的疊加原理和齊次化原理，並指出本課程只研究線性偏微分方程的求解，為同學們今後學習、了解非線性科學作點準備。第3章介紹了解波動方程的特徵線法。這個方法不僅可以解決傳統行波法沒法求解的一些波動方程，而且可以用於求解一些非線性偏微分方程，它思想較為簡單，技術上也不困難，而且在雙曲型方程的研究中被廣泛套用，所以我們通過它來引入一維波動方程的D’Alembert公式。第4章詳細準確地介紹了Sturm-Liouville問題的一般理論。這方面的內容在以前的教材中要么介紹得不夠詳細，要么介紹得不夠準確。這些不足導致的直接結果是影響了讀者對特殊函式的理解。然而同學們又很難找到系統介紹Sturm-Liouville理論的參考書。為了用較短的篇幅來介紹這方面的浩瀚內容，我們用與Hermitian矩陣類比的辦法，介紹了Sturm-Liouville問題的抽象數學理論，這樣有利於同學們系統理解分離變數法的一般理論。對於這部分內容所涉及的一些泛函分析(數學系大三專業課)的理論，初學者只需記住一些重要結論。第5章特殊函式的介紹強調了特殊函式的冪級數性質，儘量用冪級數的特點證明許多公式和命題，避免以前教材中的一些複雜技巧。本書將Bessel函式及(關聯)Legendre函式的正交關係和模長作為特殊的Sturm-Liouville問題來處理，有利於同學們理解Sturm-Liouville問題的一般理論和分離變數法的一般步驟。避免了一些額外的數學技巧，也有利於他們學習課本沒有涉及的其他類型的特殊函式。第6章介紹積分變換法，選材側重於用分離變數法不能求解的無界區域上的定解問題，避免了同一問題的重複講解。傳統教材中介紹的保角變換法處理的問題很有限，第7章用很短的篇幅介紹了怎樣用單複變函數論的Riemann映射定理來求平面上一般單連通區域的Green函式，從而可以完全求解平面上一般單連通區域上的第一邊值問題，在此基礎上介紹了怎樣用分離變數法求第二、第三邊值問題的Green函式。鑒於微分方程數值解越來越為廣大科技工作者所運用，第8章簡單地介紹了差分法、變分法以及有限元法的入門知識，為同學們進一步學習相關課程或閱讀相關課外書籍做準備。

書中的重要結論以定理或命題的形式準確敘述，便於複習和記憶；精心選擇了例題和習題，例題強調典型性和覆蓋性;對於複雜的例題，用標題標明解題步驟，以利於初學者掌握各類典型題目的基本程式。習題密切聯繫課程內容，難度適當，有些習題不僅可以加深對教材內容的理解，也是課本內容的補充。一些較難的習題給出了比較詳細的提示，但無一偏題。我的原則是以求解和理解偏微分方程的性質為核心，將一些與其他課程重複的練習去掉。認真完成習題足以理解本課程的所有核心內容。

根據作者的經驗，完成本書教學內容大約需要34~46學時。如果每周2學時，只要2.2節、4.3節、4..5節、6.3節適當略講，並選擇性地講解4.4節、5.4節、5.7節、7.2節、7.4節的例題，可以在一學期的完成本教材的內容：如果每周3學時， 一學期完成本教材的全部內容是沒有問題的。此外，特殊函式也可以只介紹 Bessel函式，(關聯)Legendre函式方面的內容可以作為自學內容處理;教材中加*號的內容，可供感興趣的同學課外閱讀。 下表給出了各章學時的分配數，可供參考。章序號12345678課時數/學時2~33~44~56~88~114~55~72~3 除了按教材本身安排的順序學習和教學外，讀者也可以根據自己的興趣選取其他順序。下圖給出了教材各個章節的邏輯順序關係，其中箭頭方向表明了教材安排的時間先後關係;方框裡小方框內的內容要么並列順序，要么可以同一教學時間內靈活處理。 第2章2.1節、2.2節可以放在第3章或課本最後講解。 除了第7章外， 右邊第3章、第4章和第5章、第6章、第8章的順序是並列的。讀者可以根據這個結構圖選擇順序學習或教學。

目錄

第1章 一些典型方程和定解條件的推導

1.1 三類典型方程的推導1

1.2 定解條件和定解問題5

1.3 定解問題的適定性8

習題19

第2章 偏微分方程的基本概念和分類10

2.1 偏微分方程的基本概念10

2.2 二階線性偏微分方程的分類11

2.3 疊加原理和齊次化原理17

習題221

第3章 特徵線法23

3.1 一階線性偏微分方程的特徵線法23

3.2 一維波動方程的初值問題26

3.3 高維波動方程的初值問題30

習題335

第4章 分離變數法37

4.1 弦振動方程的混合問題37

4.2 有限桿的熱傳導問題42

4.3 Sturm-Liouville問題44

4.4 非齊次方程、非齊次邊界條件定解問題的分離變數法55

4.5 高維、高階方程定解問題的分離變數法62

習題464

第5章 特殊函式67

5.1 Bessel函式(柱函式)的定義67

5.2 柱Bessel函式的其他類型71

5.3 Bessel函式的性質74

5.4 Bessel函式的套用舉例81

5.5 Legendre函式的定義91

5.6 Legendre函式的性質96

5.7 Legendre函式的套用舉例101

5.8 高維分離變數法小結108

習題5111

第6章 積分變換法115

6.1 Fourier變換的性質和套用115

6.2 Laplace變換的性質和套用119

6.3?* Hankel變換的性質和套用124

習題6126

第7章 Green函式法128

7.1 ?δ?函式128

7.2 線性偏微分方程的基本解132

7.3 Green函式與邊值問題134

7.4 Green函式的求法139

習題7148

第8章 偏微分方程數值解初步150

8.1 差分方程和差分格式150

8.2?* 變分法與有限元方法簡介156

習題8157

習題答案158

附錄A Γ函式的基本知識167

附錄B 常用變換表171

索引180

參考文獻182