數學物理方程[數學物理方程 ：清華大學出版社]

《數學物理方程》是2014年清華大學出版社出版的圖書，作者是姜玉山、徐延欽、王曉敏、張慶靈、劉超、李明維。該書是為國內理工類數學相關各專業普遍開設的“數學物理方程”課程編寫的教材.其內容包括數學物理定解問題；常用定解問題解法(分離變數法，行波法，積分變換法，格林函式法)；特殊函式（主要是貝塞爾函式），極值原理及套用.每節後附有習題並在書末給出了部分答案.全書按方程解法分章，層次分明，深入淺出，便於教學. 經適當章節取捨，本書也可作為工科相關專業開設的“數理方程與特殊函式”課程的教材，並可供從事偏微分方程研究的科技工作者參考.

書籍目錄

1偏微分方程模型與定解問題

數學物理方程[數學物理方程 ：清華大學出版社]

1.1弦振動方程模型及定解條件

1.1.1弦振動方程的導出

1.1.2定解問題與定解條件

習題1.1

1.2其他典型方程模型與疊加原理

1.2.1熱傳導方程模型

1.2.2調和方程模型

1.2.3交通流模型

1.2.4疊加原理

習題1.2

2特徵線法與行波法

2.1特徵線法

2.1.1一階常係數線性方程求解

2.1.2一維波動方程的通解

習題2.1

2.2達朗貝爾公式

2.2.1達朗貝爾公式的導出

2.2.2傳播波

2.2.3依賴區間、決定區域和影響區域

習題2.2

2.3三維波動方程的柯西問題

2.3.1三維波動方程的泊松公式

2.3.2泊松公式的物理意義

2.3.3降維法求解二維波動方程的柯西問題

習題2.3

2.4齊次化原理及套用

2.4.1齊次化原理

2.4.2齊次化原理套用

2.4.3高維非齊次波動方程的柯西問題

習題2.4

3分離變數法

3.1直角坐標系下的分離變數法

3.1.1有界弦的自由振動問題

3.1.2有限長桿的熱傳導問題

3.1.3分離變數法總結及固有值問題

習題3.1

3.2極坐標下的分離變數法

習題3.2

3.3非齊次方程問題與非齊次邊界問題

3.3.1非齊次方程的特徵函式法

3.3.2非齊次邊界問題

習題3.3

4格林函式法

4.1狄拉克函式與基本解

4.1.1狄拉克函式

4.1.2泊松方程的基本解

習題4.1

4.2格林公式及格林函式

4.2.1散度定理與格林公式

4.2.2泊松方程狄利克雷問題的格林函式

習題4.2

4.3特殊區域上的格林函式及套用

4.3.1格林函式的求法

4.3.2格林函式套用

習題4.3

5積分變換法

5.1傅立葉變換與拉普拉斯變換

5.1.1傅立葉變換及其性質

5.1.2拉普拉斯變換及其性質

5.1.3典型函式的積分變換

習題5.1

5.2傅立葉變換套用舉例

習題5.2

5.3拉普拉斯變換套用舉例

習題5.3

6特殊函式

6.1貝塞爾函式的推導

6.1.1冪級數解法

6.1.2貝塞爾函式

習題6.1

6.2貝塞爾函式的性質

6.2.1貝塞爾函式的遞推公式

6.2.2貝塞爾函式的零點與正交模

6.2.3函式按貝塞爾函式系展開

習題6.2

6.3貝塞爾函式的套用

習題6.3

6.4勒讓德函式

6.4.1勒讓德方程的求解

6.4.2勒讓德多項式

習題6.4

6.5勒讓德多項式套用

6.5.1函式按勒讓德多項式展開

6.5.2球形區域上調和方程邊值問題求解

習題6.5

7極值原理與能量估計

7.1泊松方程的極值原理

7.1.1極大值原理

7.1.2泊松方程邊值問題解的最大模估計

7.1.3強極值原理

習題7.1

7.2熱傳導方程的極值原理

7.2.1極值原理

7.2.2第一邊值問題解的唯一性

7.2.3解的最大模估計

習題7.2

7.3波動方程的能量估計

7.3.1振動的動能和位能

7.3.2初邊值問題解的唯一性與穩定性

習題7.3

附錄A傅立葉變換函式表

附錄B拉普拉斯函式表

附錄C高斯函式和誤差函式

附錄DΓ函式

部分習題答案及提示

參考文獻

書籍前言

偏微分方程在物理學、工程技術和其他科學的許多領域都有著十分廣泛的套用。在上述研究領域中經常出現很多描述某些物理規律的方程，統稱為數學物理方程。通過對這些方程的求解，一方面可以得到極有實用價值的結論，另一方面又可以促進這些領域的發展。因此，數學物理方程這個學科應運而生。數學物理方程既可以作為一門純數學學科來研究，也可以作為一門套用數學學科來研究。對廣大科技工作者及理科學生來說，學習數學物理方程的目的在於套用。因此，本書為了適應這些讀者的需要，從選材上就有側重，主要涉及的不是一般數學理論，而是儘量為讀者提供與數學物理方程有關的基本概念、基本原理和解題的各種方法及技巧。

2004年以來，本課程組一直為本校通信工程和功能材料等工科專業及數學相關專業本科生講授“數學物理方程”課程，深深感到編寫一本既符合專業需要，又具有較廣泛適應性的書是多么迫切。基於這種共同的認識，本書根據實踐教學的經驗，結合國內外經典教材的優秀特點，經過修改補充後編寫而成。儘管數學物理方程是一門數學專業基礎課，本書並不一味追求教學理論上的嚴密和完備，而把重點放在問題的物理含義和基本解題方法上。有些數學原理（定理）只作些說明就可使用，省略的證明部分在參考書籍中可查到。適當增加套用舉例部分，綜合套用數學物理方法去解決實際問題，使學生開闊眼界，進一步提高處理實際問題的能力。另外，計算機模擬已經成了現代科學研究中的重要的手段，本書在適當部分加入了可視化模擬，如： 波的傳播、電場分布、熱運動的變化趨勢等。可視化模擬更能激發學生的學習興趣，調動學生的創造力，發揮學生的想像力，幫助學生更好地完成學習任務。

數學物理方程這門課程用到的基礎知識較為廣泛，如果將它們統統集中安排在前面敘述，這樣學起來感到枯燥無味，因此本書將所涉及的基礎知識分別插入到相應的解法中去敘述。本書中主要用到數學分析、線性代數和常微分方程的知識，有些段落也用到複變函數的知識，在第7章還用到一些泛函分析的知識。因此，本課程安排在數學相關專業第三學年為宜。本書內容包括數學物理定解問題的常用解法： 分離變數法、行波法、積分變換法、格林函式法、特殊函式（著重是貝塞爾函式和勒讓德函式）、極值原理及套用。作為教材使用時可根據具體情況加以取捨。對於工科相關專業學生建議重點學習第1~6章，而數學相關專業的學生學習第1~5，7章。

作為東北大學秦皇島分校校級立項教材，本書得到東北大學秦皇島分校給予的經費資助，同時在清華大學出版社及本書編輯陳明、趙從棉的支持推動下，本書得以順利出版，作者對他們的支持和幫助表示衷心感謝。

編者

2014年7月秦皇島