內容介紹
本書是作者在清華大學數學科學系(1987-2003)及北京大學數學科學學院(2003-2009)給本科生講授數學分析課的講稿的基礎上編成的. 一方面, 作者力求以近代數學(集合論, 拓撲, 測度論, 微分流形和微分形式)的語言來介紹數學分析的基本知識, 以使同學儘早熟悉 近代數學文獻中的表述方式. 另一方面在篇幅允許的範圍內, 作者儘可能地介紹數學分析與其他學科(特別是物理學)的聯繫, 以使同學理解自然現象一直是數學發展的重要源泉. 全書分為三冊. 第一冊包括：集合與映射, 實數與複數, 極限, 連續函式類, 一元微分學和一元函式的Riemann積分; 第二冊包括：點集拓撲初步, 多元微分學, 測度和積分; 第三冊包括：Fourier分析初步, 廣義函式, 複分析, 微分流形, 重線性代數, 微分形式和流形上的積分學. 每章都配有豐富的習題, 它除了提供同學訓練和熟悉正文中的內容外, 也介紹了許多補充知識.本書是清華大學數學科學系、北京大學數學學院多屆本科生使用的數學分析講義。內容新穎，選材與國外數學分析教材接軌。用以培養高素質的數學人才。
作者介紹
1959年畢業於北大數學系，現為清華大學數學系教授，長期從事數學分析、實變函式論課程的教學工作。2002年9月起在北大數學學院講授數學分析。作品目錄
第7章點集拓判、初步7.1拓撲空間
7.2連續映射
7.3度量空間
7.4拓撲子空間，拓撲空間的積和拓撲空間的商
7.5完備度量空間
7.6緊空間
7.7Stone-Weierstrass逼近定理
7.8連通空間
7.9習題
7.10補充教材：Urysohn引理
進一步閱讀的參考文獻
第8章多元微分學
8.1微分和導數
8.2中值定理
8.3方嚮導數和偏導數；
8.4高階偏導數與Taylor公式
8.5反函式定理與隱函式定理
8.6單位分解
8.7一次微分形式與線積分
.8.7.1一次微分形式與它的回拉
8.7.2一次微分形式的線積分
8.8習題
8.9補充教材一：線性賦范空間上的微分學及變分法初步
8.9.1線性賦范空間上的重線性映射
8.9.2連續重線性映射空間
8.9.3映射的微分
8.9.4有限增量定理
8.9.5映射的偏導數
8.9.6高階導數
8.9.7Taylor公式
8.9.8變分法初步
8.9.9無限維空間的隱函式定理
8.10補充教材二：經典力學中的Hamilton原理
8.10.1Lagrange方程組和最小作用量原理
8.10.2Hamilton方程組和Hamilton原理
進一步閱讀的參考文獻
第9章測度
9.1可加集函式
9.2集函式的可數可加性
9.3外測度
9.4構造測度
9.5度量外測度
9.6Lebesgue不可測集的存在性
9.7習題
進一步閱讀的參考文獻
第10章積分；
10.1可測函式
10.2積分的定義及其初等性質
10.3積分號與極限號的交換
10.4Lebesgue積分與Riemann積分的比較
10.5Fubini-Tonelli定理
10.6Jagobi矩陣與換元公式
10.7Lebesgue函式空間
10.7.1Lp空間的定義
10.7.2Lp空間的完備性
10.7.3Hanner不等式
10.7.4Lp的對偶空間
10.7.5Radon-Nikodym定理
10.7.6Hilbert空間
10.7.7關於微積分學基本定理
10.8次微分形式的面積分
10.8.1一次微分形式的外微分
10.8.2次微分形式和平面的定向
10.8.3次微分形式的回拉和積分
10.8.4三維空間的二次微分形式
10.8.5平面上的Green公式
10.9習題
進一步閱讀的參考文獻
參考文獻
名詞索引
