整數[數學名詞]

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整數(integer)就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等這樣的數。 整數的全體構成整數集,整數集是一個數環。在整數系中,零和正整數統稱為自然數。-1、-2、-3、…、-、…(為非零自然數)為負整數。則正整數、零與負整數構成整數系。整數不包括小數、分數。 如果不加特殊說明,我們所涉及的數都是整數,所採用的字母也表示整數。

基本信息

分類

我們以0為界限,將整數分為三大類:

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1. 正整數,即大於0的整數如,1,2,3······直到 。

2. 零,既不是正整數,也不是負整數,它是介於正整數和負整數的數。

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3. 負整數,即小於0的整數如,-1,-2,-3······直到 。( n為正整數)

註:零和正整數統稱自然數。

整數也可分為奇數和偶數兩類。

正整數

它是從古代以來人類計數的工具。可以說,從“1頭牛,2頭牛”或是“5個人,6個人”抽象化成正整數的過程是相當自然的。

零不僅表示“沒有”(“無”),更是表示空位的符號。中國古代用算籌計算數並進行運算時,空位不放算籌,雖無空 位記號,但仍能為位值記數與四則運算創造良好的條件。印度-阿拉伯命數法中的零(zero)來自印度的(Sunya)字,其原意也是“空”或“空白”。

負整數

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中國最早引進了負數。《九章算術.方程》中論述的“正負數”,就是整數的加減法。減法的需要也促進了負整數的引入。減法運算可看作求解方程 ,如果 、b是自然數,則所給方程未必有自然數解。為了使它恆有解,就有必要把自然數系擴大為整數系。

奇偶數

整數中,能夠被2整除的數,叫做偶數。不能被2整除的數則叫做奇數。即當 n是整數時,偶數可表示為2n(n 為整數);奇數則可表示為2n+1(或2n-1)。

偶數包括正偶數(亦稱雙數)、負偶數和0。所有整數不是奇數,就是偶數。

在十進制里,我們可用看個位數的方式判斷該數是奇數還是偶數:個位為1,3,5,7,9的數為奇數;個位為0,2,4,6,8的數為偶數。

代數性質

下表給出整數加法和乘法的基本性質。(即對任何整數a,b和c成立)

性質 加法 乘法
封閉性
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是整數
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是整數
結合律
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交換律
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存在單位元
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存在逆元
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在整數集中,只有1或 -1關於乘法存在整數逆元
分配律
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1與0的特性

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1是任何數的約數,即對於任何整數 ,總有1| 。

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0是任何非零數的倍數, , 為整數,則 |0。

整除特徵

1. 若一個數的末位是單偶數,則這個數能被2整除。

2. 若一個數的數字和能被3整除,則這個整數能被3整除。

3. 若一個數的末尾兩位數能被4整除,則這個數能被4整除。

4. 若一個數的末位是0或5,則這個數能被5整除。

5. 若一個數能被2和3整除,則這個數能被6整除。

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6. 若一個數的個位數字截去,再從餘下的數中,減去個位數的2倍,如果差是7的倍數,則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數,就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程,直到能清楚判斷為止。例如,判斷133是否7的倍數的過程如下: ,所以133是7 的倍數;又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下: , ,所以6139是7的倍數,余類推。

7. 若一個數的未尾三位數能被8整除,則這個數能被8整除。

8. 若一個數的數字和能被9整除,則這個整數能被9整除。

9. 若一個數的末位是0,則這個數能被10整除。

10. 若一個數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除,則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理。過程唯一不同的是:倍數不是2而是1。

11. 若一個數能被3和4整除,則這個數能被12整除。

12. 若一個數的個位數字截去,再從餘下的數中,加上個位數的4倍,如果和是13的倍數,則原數能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數,則重複「截尾、倍大、相加、驗和」的過程,直到能清楚判斷為止。

13. 若一個數的個位數字截去,再從餘下的數中,減去個位數的5倍,如果差是17的倍數,則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數,同樣重複之前的過程,直到能清楚判斷為止。

14. 若一個數的個位數字截去,再從餘下的數中,加上個位數的2倍,如果差是19的倍數,則原數能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數,同樣重複之前的計算思路,直到能清楚判斷為止。

15. 若一個數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除,則這個數能被17整除。

16. 若一個數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除,則這個數能被19整除。

17. 若一個數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除,則這個數能被23整除

奇偶性

1. 奇數±奇數=偶數,偶數±偶數=偶數,奇數±偶數=奇數,偶數×偶數=偶數,奇數×偶數=偶數,奇數×奇數=奇數;即任意多個偶數的和、差、積仍為偶數,奇數個奇數的和、差為奇數,偶數個奇數的和、差為偶數;

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2. 奇數的平方都可以表示成 的形式,偶數的平方可以表示為 或 的形式;

3. 若有限個整數之積為奇數,則其中每個整數都是奇數;若有限個整數之積為偶數,則這些整數中至少有一個是偶數;兩個整數的和與差具有相同的奇偶性;一個整數的平方根若是整數,則兩者具有相同的奇偶性。

整數集的表示

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為什麼用 表示整數集呢?這個涉及到一個德國女數學家對環理論的貢獻,她叫諾特。

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1920年,她已引入“左模”,“右模”的概念。1921年寫出的《整環的理想理論》是交換代數發展的里程碑。其中,諾特在引入整數環概念的時候(整數集本身也是一個數環),她是德國人,德語中的整數叫做Zahlen,於是當時她將整數環記作 Z,從那時候起整數集就用 表示了。

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