恰當方程

一種微分方程，它可以直接解出而不需要用到這學科的任何特殊技巧。

恰當方程
exact equation
單變數的一階微分方程稱為恰當方程或恰當微分方程，如果它是簡單微分的結果。方程P(x,y)y'+Q(x,y)=0〔或者等價地P(x,y)dy+Q(x,y)dx=0〕是恰當方程，如果PX(x,y)=Qy(x,y)。這時，存在函式R(x,y)，它對x的偏微商為P，對y的偏微商為Q，結果方程R(x,y)=c(c為常數)將定義隱函式y，它滿足原來的微分方程。
例如，在方程(x2+2y)y'+2xy+1=0中，P=x2+2y對x的偏微商是2x，而Q=2xy+1對y的偏微商也是2x，函式R=yx2+x+y2滿足條件Rx=P與Ry=Q，從而由yx2+x+y2=c所定義的隱函式是原方程的解。有時一個方程不是恰當的，但可以用一個適當的函式乘每一項使它成為恰當的，這個適當的函式稱為一個積分因子，通常它由1/(Px±Qy)給出。
例如，方程3y+2xy'=0用1/5xy去乘，變成3/x+2y'/y=0，它是方程3ln x+2ln y=c的直接微分的結果。這方程可以寫成x3y2=c，它定義的隱函式滿足原來的微分方程。高階方程也可以稱為恰當方程，如果它是一個較低階的方程微分的結果。例如，二階方程p(x)y″+q(x)y'+r(x)y=0是恰當的，假如存在一階表達式p(x)y'+s(x)y，使它的微分恰好等於給定的方程的左方。因此這個方程是恰當的，若且唯若p″-q'+r=0，這時上面的s等於q-p'。如果方程不是恰當的，可能存在z(x)(也稱為積分因子)，使得方程乘以z後變成恰當的。