數學表達
極坐標方程
水平方向:r=a(1-cosθ)或r=a(1+cosθ)(a>0)垂直方向:r=a(1-sinθ)或r=a(1+sinθ)(a>0)
直角坐標方程
心形線的平面直角坐標系方程表達式分別為x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2)和x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2)參數方程
x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))
所圍面積為3/2*PI*a^2,形成的弧長為8a
相關軼事
愛情故事
《數學的故事》裡面說到了數學家笛卡爾的愛情故事。笛卡爾於1596年出生在法國,歐洲大陸爆發黑死病時他流浪到瑞典,1649年,斯德哥爾摩的街頭,52歲的笛卡爾邂逅了18歲的瑞典公主克里斯汀。幾天后,他意外的接到通知,國王聘請他做小公主的數學老師。跟隨前來通知的侍衛一起來到皇宮,他見到了在街頭偶遇的女孩子。從此,他當上了小公主的數學老師。
小公主的數學在笛卡爾的悉心指導下突飛猛進,笛卡爾向她介紹了自己研究的新領域--直角坐標系。每天形影不離的相處使他們彼此產生愛慕之心,公主的父親國王知道了後勃然大怒,下令將笛卡爾處死,小公主克里斯汀苦苦哀求後,國王將其流放回法國,克里斯汀公主也被父親軟禁起來。
笛卡爾回法國後不久便染上重病,他日日給公主寫信,因被國王攔截,克里斯汀一直沒收到笛卡爾的信。笛卡爾在給克里斯汀寄出第十三封信後就氣絕身亡了,這第十三封信內容只有短短的一個公式:r=a(1-sinθ)。國王看不懂,覺得他們倆之間並不是總是說情話的,將全城的數學家召集到皇宮,但沒有一個人能解開,他不忍心看著心愛的女兒整日悶悶不樂,就把這封信交給一直悶悶不樂的克里斯汀。
公主看到後,立即明了戀人的意圖,她馬上著手把方程的圖形畫出來,看到圖形,她開心極了,她知道戀人仍然愛著她,原來方程的圖形是一顆心的形狀。這也就是著名的“心形線”。
國王死後,克里斯汀登基,立即派人在歐洲四處尋找心上人,無奈斯人已故,先她一步走了,徒留她孤零零在人間
據說這封享譽世界的另類情書還保存在歐洲笛卡爾的紀念館裡。
故事真相
在歷史上,笛卡爾和克里斯蒂娜的確有過交情。但笛卡爾是1649年10月4日應克里斯蒂娜邀請才來到瑞典,而當時克里斯蒂娜已成為了瑞典女王。笛卡爾與克里斯蒂娜談論的主要是哲學問題而不是數學。有資料記載,由於克里斯蒂娜女王時間安排很緊,笛卡爾只能在早晨五點與她探討哲學。笛卡爾真正的死因是因天氣寒冷加上過度操勞患上的肺炎,而不是黑死病。另類弧度
1、極坐標系下繪製r=Arccos(sinθ),我們也會得的一個漂亮的心形線。2、更為複雜的心形線:
3、數學愛好者創作的平面直角坐標系下的心形線,由兩個函式表達式構成,但在利用幾何畫板作圖時請務必將角度單位從默認的度改為弧度。