定義
復變數
復變數
復變數
復變數
復變數
復變數
復變數 復變數 復變數
復變數
復變數
復變數
復變數 復變數
復變數 復變數
復變數
復變數設 與 為兩任意實數，以 表示 ，則式子 叫做 複數。如以兩個 實變數 與 分別代替 與 ，則所得式子 就叫做 復變數，並記作s(即令 )。若 ，則 ，此時復變數變為實變數，所以實變數是復變數的特殊情形。 叫做復變數s的 實 部，記作 ， 叫做復變數s的 虛部，記作 ，即 。
表示方法
復變數復變數(以下簡稱複數) 有以下幾種表示法：
坐標(點)表示法
復變數
復變數 復變數
復變數 復變數 復變數
復變數
復變數
復變數
復變數由於任一複數 與一對 實變數 成一一對應關係，所以可以用直角坐標( )表示之。反之，在平面上建立直角坐標系後，每一個點都可以表示為複數。因此，在複數域中 平面又叫做 複平面或 s平面。 軸叫做 實軸， 軸叫做 虛軸。例如圖1所示為 s平面，平面上任一點 可由坐標 和 來確定。或者記作 。
圖1 坐標表示法
圖2 向量表示法向量表示法
復變數複數s還可用從原點指向點( )的向量來表示，如圖2所示。向量的長度OP稱為s的模或絕對值，記作
復變數
復變數
復變數
復變數向量 與實軸的夾角 稱為s的輻角，記作 。
復變數 復變數關於輻角 要注意下列關係：
復變數
復變數時，在第一象限； 時，在第二象限；
復變數
復變數時，在第三象限； 時，在第四象限。
三角表示法和指數表示法
利用直角坐標與極坐標的關係
復變數
復變數複數s可以表示為： 這就是複數的 三角表示法。
復變數
復變數利用歐拉公式： ，可以得到： ，這種形式稱為 複數的指數表示 法。根據討論問題的需要，可以把複數從一種表示形式轉換為另一種表示形式。
乘積定理
兩個複數乘積的模等於它們的模的乘積；兩個複數乘積的輻角等於它們輻角的和。
復變數
復變數
復變數
復變數
復變數 復變數
復變數
復變數
復變數根據這個定理，可以說乘積 的向量是從因子 的向量旋轉一個角度 (即 )，並伸長(縮短)到 倍得到的。如圖3所示。特別，當 =1時，乘法變成了只是旋轉。例如 相當於將 逆時針旋轉90°， 相當於將s順時針旋轉90°。
如果用指數形式表示複數
復變數則乘積定理可以簡明地表示為
復變數商定理
兩個複數的商的模等於它們的模的商；兩個複數的商的輻角等於被除數與除數的輻角之差。若
復變數則商定理可以簡明地表示為
復變數