初等定義
鄰域是一個特殊的區間，以點a為中心點任何開區間稱為點a的鄰域，記作U(a)。
鄰域點a的δ鄰域：設δ是一個正數，則開區間（a-δ，a+δ）稱為點a的δ鄰域，記作 ,點a稱為這個鄰域的中心，δ稱為這個鄰域的半徑。
鄰域
鄰域
鄰域由於 相當於 ，因此， 表示與點a的距離小於δ的一切點x的全體。
鄰域
鄰域
鄰域
鄰域
鄰域點a的去心 δ鄰域：有時用到的鄰域需要把鄰域中心去掉，點 a的 δ鄰域去掉中心 a後，稱為點 a的 去心δ鄰域，記作 （表達方法是在U上標一個小的0）,即 ,這裡 表示 。有時把開區間( a - δ, a)稱為a的 左δ鄰域，把開區間( a, a + δ)稱為a的 右δ鄰域。
鄰域公理
內容
給定集合X，映射U：X→P(P(X))（其中P(P(X))是X的冪集的冪集），U將X中的點x映射到X的子集族U(x)），稱U(x)是X的 鄰域系以及U(x)中的元素（即X的子集）為點x的 鄰域，若且唯若U滿足以下的 鄰域公理：
•U1：若集合A∈U(x)，則x∈A。
•U2：若集合A，B∈U(x)，則A∩B∈U(x)。
•U3：若集合A∈U(x)，且A ⊆ B ⊆ X，則B∈U(x)。
•U4：若集合A∈U(x)，則存在集合B∈U(x)，使B ⊆ A，且∀y∈B，B∈U(y)。
含義
鄰域公理是現代數學拓撲結構的基礎概念，是定義拓撲的五套等價公理之一。這套公理直接定義了空間上的整套領域系，而非簡單定義某個點的鄰域。映射U即是將x映射至x鄰域組成的集合。
•U1：若A是x的鄰域，則x屬於A。這是顯然的。
•U2：若A和B都是x的鄰域，則A和B的交集也是x的鄰域。即鄰域對於有限交運算封閉。
•U3：若A是x的鄰域，則所有包含A的集合都是x的鄰域。
•U4：若A是x的鄰域，則存在一個被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有點的鄰域。換言之，若x有一個鄰域，那么一定可以將其縮小，縮小到它是其中所有點的鄰域。更關鍵的，這樣的鄰域若且唯若它是X中的開集，這也是鄰域公理為何等價於開集公理，從而可以通過它定義X上拓撲的原因。
開鄰域和閉鄰域
若x的鄰域同時是X中的開集，稱其為x的 開鄰域；若它同時是X中的閉集則稱其為x的 閉鄰域。
結論
拓撲空間X，X的子集A是開集，若且唯若A是其中所有點的鄰域。（顯然由此可知，從鄰域公理出發可以等價地定義拓撲空間）。
拓撲空間X，X的子集A和A°，A°是A的開核，若且唯若A° = {x | ∃U∈U(x)，U⊆A}。
拓撲空間X，X的子集A和A’，A’是A的閉包，若且唯若A’ = {x | ∀U∈U(x)，U∩A ≠ ∅}
1.拓撲空間X，X的子集A是開集，若且唯若A是其中所有點的鄰域。（顯然由此可知，從鄰域公理出發可以等價地定義拓撲空間）。
2.拓撲空間X，X的子集A和A°，A°是A的開核，若且唯若A° = {x | ∃U∈U(x)，U⊆A}。
3.拓撲空間X，X的子集A和A’，A’是A的閉包，若且唯若A’ = {x | ∀U∈U(x)，U∩A ≠ ∅}
