弱引力透鏡

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簡介

弱引力透鏡效應可以通過一個雅可比變換來描述，即將源點和像點的坐標進行變化得到的矩陣。在這個矩陣裡面，有兩個重要參量κ(被稱為convergence)和γ(被稱為shear)。前者用來描述像的放大或者縮小，後者用來描述像的扭曲，它也是個復參量。其實，一般還有一個參量是ρ(被稱為rotation)，通常是描述像的鏇轉，由於這種效應很難觀測出來，所以一般在弱引力透鏡效應中不予考慮。

理論上是通過在弱引力場度規下光的測地線方程來解出這兩個參量和引力場的關聯的。於是我們可以運用現有的物質分布理論來估計弱引力透鏡效應的強度，並透過觀測來約束理論計算中所用到的理論參數。其中，在宇宙學中，對弱引力透鏡效應最敏感的兩個參數是暗物質（Dark Matter）密度Ω和物質功率譜（Matter Power Spectrum）的振幅σ8. 為了更好地把觀測量和理論量拿來比較，科學家一般把剪下（shear）的功率譜的觀測值和理論值拿來比較。因為在沒有源星系的真實形狀的條件下，觀測單個星系的形變是不可能的。所以，在宇宙學研究里，大家一般會假設背景星系可以被刻畫成橢圓，而且這個橢圓的軸的方向是隨機的，這樣我們就可以在統計一部分天區的星系形狀之後發現這些背景星系軸的方向和隨機場的偏離，這個偏離就可以用shear的功率譜來描述。

為了消除其他可能對星系的像產生同樣扭曲的效應，科學家一般會對引力場進行E/B分解，就是把引力場分解為類似電場分量和磁場分量的兩個分量，前者有散度無鏇度，後者有鏇度無散度。由於弱引力透鏡效應幾乎不產生B分量，所以，所觀測到的B分量基本上都是其他原因諸如儀器，星系的內部耦合（intrinsic alignment）等造成的。所以，E/B分解技術可以有效地減小系統誤差。

歷史

弱引力透鏡的歷史最好還是從引力透鏡的歷史開始，而引力透鏡的歷史可以上述到19世紀初Soldner在1804年用牛頓引力理論來計算光子經過太陽表面之後的偏折。但愛因斯坦（Einstein）在完成了他偉大的廣義相對論場方程之後就計算出來光子在經過太陽表面的偏折角是1.7弧秒。而這個預言由愛丁頓在1919年的一次日食觀測中所證實。愛因斯坦認為這種引力效應對背景天體產生的形變是非常微小而難以察覺的。然而，1937年Zwicky由維里定律發現星系質量達到千億個太陽質量的量級，這就足以使得背景星系產生強烈的形變了。1964年Refsdal在一篇模擬引力透鏡的文章中發現可以透過測量引力透鏡所產生的兩個像的時差來計算哈勃常數。但直到1979年，Walsh等人才第一次發現由引力透鏡效應所產生的兩個類星體的像，即QSOA,B。而1986年Paczynski首次提出恆星對恆星也可以產生類似的效應，這種效應就是所謂的微引力透鏡效應，直到上個世紀90年代才被幾個小組發現。而最激動人心的是1987年由Hewitt等人在射電波段發現了愛因斯坦環，這種環可以用來精確測定引力透鏡的物質分布。
以上所述都是點源天體作為透鏡，下面我們會考慮面源作為透鏡的歷史發展情況，其中重要的是星系團和星系甚至大尺度結構作為透鏡的例子。星系團的引力透鏡效應雖然提出很早，但直到1987年在A 370和Cl 2244這兩個星系團中發現了綠色的亮弧，科學家才證實了這種透鏡的觀測事實。Tyson在1984年首先提出了星系與星系間的透鏡效應（galaxy-galaxy lensing）,這種效應一直等到2000年的時候，才由Fischer和他所在的小組透過統計的方法證實。這種方法現在已經非常成熟，可以用來和其他觀測手段一起來探測宇宙的物質分布並約束宇宙學參數。大尺度所帶來的引力透鏡效應早在1967年就已經提出，但由於這種效應太弱，而且高精度的大尺度巡天有諸多困難，所以直到2000年才又四個小組分別測出宇宙學剪下（shear）。這種效應就是我們經常用來測量宇宙學參數的弱引力透鏡效應。

類型

星系團透鏡

星系團透鏡就是以星系團作為透鏡來研究弱引力透鏡效應，這種研究可以反映星系團的物質分布。而且由於星系團裡面80%的成分是暗物質，所以，用這種方法可以很好的反映暗物質的分布和性質。較著名的透鏡星系團有Abell 1689, CL0024+17和子彈頭星系團（Bullet Cluster）。

星系團透鏡所產生的弱的像的形變通常被噪聲和形變的微弱性所影響，直到1993年Kaiser和Squires發展出一套統計方法來用這種弱形變來計算透鏡物質的分布。這套統計方法的關鍵是用可觀測的背景星系的橢率的平均並透過傅立葉變換來得到γ（shear）的分布，並進一步得到透鏡的物質分布Σ。但實際套用當中會遇到很多困難，比如一些由大氣擾動，點擴散函式（Point Spread Function），望遠鏡的像散以及星系團的橢率耦合（intrinsic ellipticity alignment）等帶來的一些系統誤差。而這個方法最大的弱點是它並不是直接測量γ，而是測量橢率ε的平均值，這個值是與shear和convergence都有關的一個量，所以，當雅可比矩陣乘於一個標量時，橢率是不變的。這樣就會對shear的測量產生誤差。解決的辦法是不僅測背景星系的橢率，而且也測量它們的放大率。放大率的測量可以通過比較有透鏡天區星系的數目和無透鏡天區的數目比值或者比較同樣亮度兩個此星系團尺度大小的區域裡面星系尺寸的比較來測定背景星系的平均放大率。這樣就可以消除這種物質薄片耦合（Mass Sheet Degeneracy）所帶來的誤差。
星系團透鏡可以用來限制暗物質模型，子彈頭星系團是最好證明暗物質存在的證據。因為由X射線觀測的物質分布和引力透鏡觀測到的物質分布有差異，這種差異可以很好說明兩個星系團碰撞過程中暗物質和可見重子物質的不同相互作用，進而證明暗物質的存在。星系團透鏡可以用來對星系團巡天，進而得到在不同紅移處星系團數目的分布，而這個分布與宇宙學相關參數很相關，所以，也可以用這種方法來限制宇宙學參數。

星系透鏡

星系與星系之間的透鏡效應（galaxy-galaxy lensing）就是由場星系（field galaxy），即不在星系團中的星系，作為引力透鏡對背景星系的引力效應。這種透鏡所產生的形變大概是1%左右，介於星系團透鏡和大尺度所產生的信號之間。但由於背景星系的噪聲影響，這樣的信號只能透過觀測多個場星系的背景星系（稱之為堆疊stacking）來獲得足夠強的信噪比（signal to noise）。處理數據的方法和星系團透鏡處理數據的方法類似。

星系與星系間的引力透鏡效應可以用來測量透鏡星系（galaxy lens）的物質分布（mass density profile），質光關係（mass-to-light ratios），星系質量演化（galaxy mass evolution）和不同類型星系的演化等。

大尺度結構透鏡

在沒有星系團或者星系作為透鏡的情況下，由於大尺度結構所造成的引力場也會使得光線有微小扭曲，所以，這種非常微弱的效應是一種可以用來測量宇宙物質分布的引力透鏡效應。大尺度所產生的像的扭曲在0.1%-1%之間,所以必需由大量的樣本來保證信噪比。而且由於宇宙只有一個，所以在統計大尺度的物質分布的時候會產生一種叫做cosmic variance的統計誤差。現在，用來限制宇宙學參量的宇宙學剪下（cosmic shear）的觀測和統計目標就是排除其他的系統誤差，使得誤差的水平可以與cosmic variance的誤差接近。

現在大尺度的弱引力透鏡效應已經成為和其他宇宙學研究手段並行的一個觀測手段，並且透過紅移切分（redshift bins)來研究不同紅移處宇宙的物質分布（tomography）。現在已經有Dark Energy Survey, Pan-STARRS, 和 LSST這幾個望遠鏡計畫透過這種方式來研究宇宙的暗物質分布和宇宙演化歷史。
除此以外，宇宙微波背景輻射（CMB）和21cm背景輻射（ 21cm line radiation）也可以作為引力透鏡的背景源，這種源不同於星系這樣的分離的有橢圓形狀的面源，他們是連續的而且是在高紅移處的，所以比較適合用來研究高紅移處的宇宙物質分布。

特點

弱引力透鏡作為研究物質分布的工具最大的優點在於它不受重子物質對光子作用的影響，可以反映透鏡中只有弱作用的暗物質質量的分布。而且由於它主要用來測量低紅移處（z<3）的宇宙結構，而這個時期的宇宙是暗能量占主導的，所以，可以用弱引力透鏡的方法很好地刻畫暗能量狀態方程（equation of state）的演化行為。如果透過更精確的對星系光度紅移（photometric redsh

ift）測量得到背景源的三維信息，那么這種方法會得到比二維的宇宙微波背景輻射更優越的統計效果。而且，這種三維信息可以幫助我們消除星系間的橢率耦合（intrinsic ellipticity alignment）。不僅如此，由於這種方法和現在普遍採用的宇宙微波背景輻射（CMB）和大尺度巡天(Large Scale Survey)的方法是相互獨立的，所以可以把他們聯合起來約束宇宙學參數或宇宙學模型。