常返狀態

在馬爾可夫鏈的每一步，系統根據機率分布，可以從一個狀態變到另一個狀態，也可以保持當前狀態 。根據狀態轉移的不同特性，可以把馬爾科夫鏈的狀態分為常返狀態和非常返狀態。馬爾可夫鏈的具有無窮多次返回特性的狀態就稱為常返狀態。

基本信息

• 中文名：常返狀態
• 英文名：recurrent state
• 類型：正常返狀態和零常返狀態

• 相關名詞：非常返狀態
• 套用學科：數學
• 隸 屬：馬爾科夫鏈狀態
• 套用領域範圍：經濟管理、地理統計

定義

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

對於狀態 ，如果 ，則稱狀態 為常返狀態（返回狀態）；如果 ，則稱狀態 為非常返態（滑過態）。

註：“常返”一詞，有時又稱“返回”、“常駐”或“持久”；

“非常返”也稱“滑過”或“瞬時”。

分類

常返狀態分為正常返狀態和零常返狀態。

令條件數學期望：

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

是從狀態 出發，首次到達狀態 的平均轉移步數（時間）。

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

註：若 ，則 是從狀態 出發，首次返回狀態 的平均轉移步數，成為狀態 的平均返回時間；對應的 稱為狀態 的返回機率； 稱為從狀態 出發經過n步轉移首次返回狀態 的機率。

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

正常返態和零常返態的定義：對於常返態 ，若 ，則稱狀態 是正常返的；否則，若 ，則稱狀態 是零常返的 。

常返態和非常返態的判別

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

定理： 是常返態的充要條件是 。狀態 是非常返（ <1）的 。

相關定理

常返狀態

常返狀態

常返狀態

常返狀態

（1） 若 =1，則系統以機率1無窮次返回狀態 ；若 <1，則系統以機率1隻有有窮次返回狀態 。

常返狀態

（2） 設 是常返態，則

常返狀態

常返狀態

① 是零常返態的充要條件是 ；

常返狀態

常返狀態

② 是正常返態的充要條件是 。

（3）一個狀態有限的馬爾科夫鏈，不可能所有狀態都為非常返態。